( 3*i ) 



» 15. Quand la courbe du quatrième ordre a un point double, elle n'est 

 tangente qu'à deux directrices et à deux génératrices de l'hyperboloide. 



» Les quatre points de contact sont situés dans un même plan. 



» 14. Si la courbe a un point de rebroussement, il n'existe qu'une direc- 

 trice et une génératrice qui lui soient tangentes. 



Plans tangents à une courbe C, menés par une droite. 



» lo. Par une droite on peut mener huit plans tangents à une courbe 

 gauche du quatrième ordre (i). 



» Les huit points de contact forment la base d'un faisceau de courbes du 

 quatrième ordre dont la proposée fait partie. 



» 16. Quand la droite passe par un point de la courbe du quatrième 

 ordre, on ne peut mener par cette droite que six plans tangents. 



» Par les six points de contact, on peut faire passer un faisceau de courbes 

 du quatrième ordre, qui seront toutes tangentes à la proposée au point ou 

 la droite la rencontre. 



» 17. Si la droite s'appuie en deux points sur la courbe du quatrième 

 ordre, le nombre des plans tangents est réduit à quatre. 



» Par les quatre points de contact on peut faire passer un faisceau de 

 courbes du quatrième ordre, toutes tangentes à la proposée, aux deux 

 points où la droite la rencontre. 



» 18. Quand une courbe du quatrième ordre a un point double, on 

 peut lui mener par une droite quelconque six plans tangents. 



» Les six points de contact et le point double sont la base d'un faisceau 

 de courbes du quatrième ordre, toutes tangentes entre elles au point dou- 

 ble, et dont fait partie aussi la courbe proposée. 



» 19. Quand la courbe a un point de rebroussement, on ne peut lui 

 mener par une droite quelconque que cinq plans tangents. 



» Les cinq points de contact et le point de rebroussement sont la base 

 d'un faisceau de courbes du quatrième ordre tangentes à la courbe en son 

 point double, et ayant toutes entre elles un contact du second ordre en ce 

 point. 



Plans oscillateurs à une courbe C 4 . 



» 20. Une courbe gauche du quatrième ordre admet douze plans oscil- 

 lateurs passant par un même point. 



(i) Ce théorème a été donne en premier lieu dans V Aperçu historique, p. 249 



