( 3 79 ) 

 Charpit avait rencontrées dans la généralisation de la méthode de Lagrange. 

 » C'est ce que je me propose d'établir dans le Mémoire que j'ai l'hon- 

 neur de présenter aujourd'hui à l'Académie. On trouvera ainsi dans ce Mé- 

 moire une méthode nouvelle tout aussi simple que celles de Cauchv et de 

 Jacobi, mais beaucoup plus directe, à notre avis. » 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Mémoire sur les tétraèdres; détermination du 

 volume maximum d'un tétraèdre dont les faces ont des aires données; /un 

 M. Paixvin. 



(Commissaires, MM. Bertrand, Serret.) 



« Ce problème, abordé par Lagrange dans son Mémoire sur les pyra- 

 mides, a été ramené par lui à l'étude d'une équation du quatrième degré. 

 Mais, pour terminer cette intéressante question, il restait à faire une discus- 

 sion plus approfondie de l'équation obtenue, et à signaler les diverses pro- 

 priétés géométriques du tétraèdre qui satisfait à la question. C'est là le 

 principal objet du Mémoire que j'ai l'honneur de soumettre au jugement 

 de l'Académie. 



» Je commence par établir le théorème suivant : 



« Supposons qu'on prenne le déterminant réciproque d'un certain déter- 

 » minant X, et qu'on fasse ensuite le carré de ce déterminant réciproque ; si 

 » l'on effectue maintenant ces opérations en sens inverse, c'est-à-dire si l'on 

 )/ fait le carré de X, et qu'on prenne ensuite le déterminant réciproque de ce 

 » carré, les deux déterminants définitifs, obtenus par ces deux séries d'opé- 

 » rations, seront identiques élément à élément. » 



» Cette proposition me sert de point de départ pour démontrer plusieurs 

 formules sur les tétraèdres. Je prouve alors que l'équation du quatrième 

 degré a. toujours une racine réelle convenant à la question, et une seule; 

 que le tétraèdre correspondant est toujours réel et que son volume est 

 maximum. 



» Parmi les différentes propriétés du tétraèdre maximum^ je ne citerai 

 que celles-ci : 



» i° Les tangentes des angles correspondant à un même sommet sont 

 proportionnelles aux aires des faces qui forment ce sommet. 



» 2 Les arêtes opposées sont perpendiculaires entre elles. 



» 3° La somme des carrés des arêtes opposées est constante. 



» l\° La somme des carrés des produits des arêtes opposées est égale à 

 quatre fois la somme des carrés des aires des faces. 



