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géométrie. — Considérations générales sur les courbes en espace. — Courbes 

 du quatrième ordre; par M. A. Cayley. 



» Toute surface du second ordre est une surface monoïde, et on peut 

 prendre pour sommet un point quelconque de la surface. En effet, en con- 

 sidérant un point quelconque de la surface du second ordre, soient 



x = o, j- = o, z = o, 



les équations de trois plans quelconques qui passent par ce point ; l'équa- 

 tion de la surface sera satisfaite en y écrivant 



jc = o, y =. o, z = o; 



donc cette équation ne contiendra pas de terme en u 2 . et elle sera ainsi 

 de la forme 



p 



uQ-P.= o ou ^=— , 



P et Q étant des fonctions homogènes en x, j, z, du second ordre et du 

 premier ordre respectivement; c'est-à-dire, la surface sera monoïde, ou, si 

 l'on veut, monoïde quadrique. 



» Or, par une courbe du quatrième ordre (ou courbe quartique) quel- 

 conque en espace, on peut faire passer une surface du second ordre ou 

 monoïde quadrique. Selon la théorie générale, la surface monoïde est tout 

 au plus du troisième ordre ou monoïde cubique; j'avais tort de supposer 

 que pour la courbe excubo-quartique la surlace monoïde fût nécessaire- 

 ment une monoïde cubique. Il arrive comme suit, savoir : pour la courbe 

 quadriquadrique, en prenant pour sommet un point quelconque de l'espace 

 I on suppose toujours que le sommet de la monoïde n'est pas situé sur la 

 courbe), on aura une monoïde quadrique; mais pour la courbe excubo- 

 quartique, pour que la monoïde soit quadrique, il faut que le sommet soit 

 situé sur la surface du second ordre (il n'y a qu'une seule surface) qui 

 passe par la courbe; cela étant, la monoïde quadrique sera cette surface 

 même du second ordre. Mais en prenant pour sommet un point quel- 

 conque qui n'est point situé sur la surface du second ordre, la monoïde 

 sera nécessairement une surface cubique. 



