( 422 ) 



» i8. Dans un faisceau de courbes gauches du quatrième ordre, les 

 couples de points dans lesquels ces courbes rencontrent une génératrice de 

 llivperboloïde sont en involution. 



» De sorte que chaque génératrice est tangente à deux courbes du fais- 

 ceau : les deux points de contact sont les points doubles de l'involution . 



» i9. Quand deux faisceaux de courbes du quatrième ordre ont un point 

 fondamental commun, il existe trois courbes du premier faisceau qui sont 

 osculatrices à trois courbes du second faisceau. 



» 50. Dans un faisceau de courbes du quatrième ordre, une droite étant 

 menée par un point fondamental, il existe trois courbes dont les plans oscil- 

 lateurs en ce point passent par la droite. 



» 51. Quand les courbes d'un faisceau sont toutes tangentes entre elles 

 en un point fondamental, il existe une courbe qui, au lieu d'être tangente 

 aux autres, a un point double en ce point fondamental. 



» Et, en général, quand les courbes d'un faisceau du quatrième ordre 

 ont toutes un contact d'ordre r en un point fondamental a, il existe une 

 courbe du faisceau qui a un point double en a, et dont une branche a avec 

 les autres courbes un contact d'ordre (r — 1) (i). 



» 52. Dans un faisceau de courbes gauches du quatrième ordre qui ont 

 toutes un point double en un point fondamental, les couples de tangentes 

 à ces courbes en ce point sont en involution. 



» Et il existe deux courbes qui ont un rebroussement ; les tangentes de 

 rebroussement sont les ravons doubles de l'involution. 



( i ) Je profite ici de l'occasion de rectifier un énoncé incomplet et défectueux dans ma 

 communication du 3o décembre 1861 {Comptes rendus, t. LUI, p. i?.o5, ait. 39). Au lieu de 

 ces mots : a Et en général, dans un faisceau de courbes gauches qui ont un contact d'ordre r 

 en un point fondamental, il en existe une qui, au lieu d'osculer les autres, a un point multiple 

 d'ordre (/ ■+ t ), » il faut lire : Et en général, dans un faisceau de courbes gauches qui ont 

 toutes un point multiple d'ordre r en un point fondamental,- et dont les r branches sont tan- 

 gentes entre elles, respectivement, il existe une courbe du faisceau, qui a un point multiple 

 il 'ordre ( r -I- l ) et dont les branches ne sont point tangentes aux autres courbes. 



A ce théorème nous ajouterons le suivant, dont notre proposition (SI ) sur les courbes 

 gauches du quatrième ordre est une application : 



Dans un faisceau de courbes qui ont toutes un contact d'ordre r en un point fondamental, 

 il en existe une, et une seule, qui est différente des autres en ce qu'elle possède un point mul- 

 tiple d'un certain ordre n, dont une branche a un contact d 'ordre (r — n -+■ i ) avec les autres 

 courbes du faisceau ; n étant un nombre indéterminé, mais ne pouvant avoir qu'une valeur. 



