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» oô. Dans un faisceau de courbes gauches du quatrième ordre, sur une 

 surface du second ordre, il existe six courbes tangentes à une section plane 

 quelconque de la surface. 



» Et quand la section plane passe par un des points communs à toutes les 

 courbes, le nombre des courbes tangentes à cette section plane est de quatre. 



» lii. Dans un faisceau de courbes du quatrième ordre il existe, en 

 général, douze courbes qui ont un point double. 



» jo. Dans un faisceau de courbes du quatrième ordre tracées sur un 

 hvpcrboloïde, lelieu des points de contact des directrices et de ces courbes 

 est une courbe du sixième ordre M(x 4 j' 2 ), qui passe par les huit points 

 fondamentaux du faisceau. 



» Quand les courbes du faisceau ont toutes un point double en un point 

 fondamental a, le lieu des points de contact des directrices est une courbe 

 du cinquième ordre M (x 3 j -2 ), qui a un point double en a, et qui passe par 

 les quatre autres points fondamentaux du faisceau. 



» oG. Si par une droite £21 on mène les plans tangents aux courbes d'un 

 faisceau du quatrième ordre, M(x 2 y 2 ), les courbes du quatrième ordre 

 M' (x~ y 2 ) qu'on peut mener par les huit points de contact de chaque courbe 

 et parle point £2 (lu), forment un faisceau; et ces courbes correspondent 

 anharmoniquement aux courbes proposées. 



» 57. i° Le lieu des points de contact de toutes les courbes du faisceau 

 est une courbe du huitième ordre M (x* y*), qui passe par les huits points 

 fondamentaux du faisceau et par les deux points £2, I, où la droite £21 ren- 

 contre l'hyperboloïde; elle est tangente en ces points aux deux courbes du 

 faisceau qui passent par ces points. 



» La courbe passe, en outre, par les quatre points où les droites de 

 l'hyperboloïde, génératrice et directrice, qui partent du point £2, sont 

 touchées par quatre courbes du faisceau; et de même, par les quatre 

 points où les deux droites de l'hyperboloïde qui partent du point I, sont 

 touchées par des courbes du faisceau. 



» 2° Si les courbes du faisceau ont toutes un point double en un point 

 fondamental a, la courbe du huitième ordre, lieu des points de contact des 

 plans tangents menés par une même droite, a un point triple en ce point a, 

 et passe par les quatre autres points fondamentaux du faisceau. 



» 3° Si la droite £21, par laquelle on mène les plans tangents aux courbes 

 du faisceau, passe par un point fondamental £2, auquel cas il n'existe que 

 six plans tangents à chaque courbe : le lieu de tous les points de contact 



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