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lérentielles de la forme 



, , d Pi _ dn dq, _ rlB 



' I fit dffi ' (Il dp, 



» Dans ces équations, qui comprennent comme cas particuliers celles de 

 la dynamique, on peut supposer que II soit une fonction quelconque des 

 quantités, p ( , y,-, et de la variable indépendante t. 



» Jacobi a démontré, en généralisant un théorème d'Hamillon, que l'in- 

 tégration générale du système (i) dépend de la découverte d'une solution 

 complète d'une certaine équation à différences partielles du premier ordre, 

 non linéaire, et à n -+- i variables indépendantes. 



» Si l'on a 



(2) H = F(<!; 7,, <7 2 ,.. .,</„; p,, /)„...,. p„), 



l'équation dont il s'agit est 



,,, d\ ( d\ d\. d\\ 



( 3 ) -d7 = F \ t > *>?»"••?*' fy'4ï,\''rd£r. 



et comme nous avons pris pour H une fonction quelconque de toutes les 

 variables qu'elle renferme, l'équation (3) est une équation quelconque du 

 premier ordre, résolue par rapport à l'une des dérivées partielles de la fonc- 

 tion inconnue V. Il est à remarquer que cette fonction V figure seulement 

 dans notre équation par ses dérivées partielles, ce qui n'établit pas de res- 

 triction, comme on sait. 



» Inversement, si l'on a une équation différentielle partielle quelconque, 

 telle que 3), on peut considérer à sa place le système des équations (1). Il 

 résulte de cette remarque bien simple que les fécondes recherches relatives 

 à ces équations (1), dont la forme est si particulière, constituent aujour- 

 d'hui la théorie la plus générale et la plus complète de l'intégration des 

 équations aux différences partielles du premier ordre, isolées ou simultanées. 



» 2. On sait qu'il suffit d'avoir trouvé la moitié des intégrales (*) deséqua- 



(*) On appelle intégrale d'un système d'équations différentielles ordinaires, une équation. 

 «=x, dans laquelle * est une constante arbitraire qui ne se trouve pas dans u, et u une 

 expression telle, que sa différentielle du est identiquement nulle. 



Ces fonctions, u, vérifient identiquement Y équation linéaire 



i = n 

 du ^/dHdu dH du\ _ 



rt + 2é\dY',dJ l ~dp~dq~ i )~ ' 

 Ottc équation, qui est à 2«-f-i variables indépendantes, peut tenir lieu de l'équation 



