( Vu ) 



lions (i), pour pouvoir former une solution complète de l'équation géné- 

 rale (3), solution d'où l'on déduit par de simples différentiations le reste des 

 intégrales du système (i). 



» Il faut seulement que les n intégrales connues satisfassent à certaines 

 conditions qui font l'objet d'un beau théorème donné par M. Liouville en 

 1 853 ; et l'application de ce théorème remarquable, comme je l'ai démonir* 

 ailleurs (*), permet d'intégrer à vue tous les problèmes de mécanique donl 

 la solulion exigeait autrefois des calculs plus ou moins longs et compliqués. 



» On peut aller plus loin : et sans attendre qu'on ait ainsi obtenu la moitié 

 de la solution des équations proposées, on peut, à chaque fois qu'on a 

 trouvé une intégrale convenable, en profiter immédiatement pour abaisser 

 de deux unités l'ordre du système d'équations à résoudre. 



» C'est ce que Jacobi annonçait dès 1837 à l'Académie des Sciences !** ; 

 nous n'avons d'ailleurs sur la méthode de l'illustre géomètre allemand que 

 quelques indications contenues dans une Lettre à M. Enke, Lettre que 

 nous reproduirons plus loin. 



» Jacobi revient sur ces questions dans une Lettre adressée au président 

 de l'Académie des Sciences, le a4 septembre 18^0, Lettre qui a fait une 

 grande sensation et qui se termine par cette phrase : 



« C'est ce qu'on verra dans un ouvrage auquel je travaille depuis plu- 

 » sieurs années, et dont peut-être je pourrai bientôt faire commencer l'ini 

 » pression. » 



» M. Liouville, en publiant cette Lettre (***), ajoute : « Tous les géomètres 

 » verront avec plaisir M. Jacobi annoncer la publication prochaine du grand 



non linéaire (3), ou des équations différentielles ordinaires (1). Tonte fonction u, qui satisfait 

 li cette équation, étant égalée à une constante arbitraire a, fournit une intégrale du problème! 



Pour abréger, je dirai simplement l'intégrale (a) au lieu de l'intégrale, 11 = a. 



(*) Mémoire sur les mouvements relatifs. { Comptes rendus, t. XLII, p. 383, séance du 

 25 février i856.) 



(**) « J'ai trouvé que l'on peut suivre une telle marche dans l'intégration des équations 

 du mouvement, que chacune des intégrales trouvées successivement rabaisse leur ordre de 

 deux unités, en égalant toujours Vordre d'un système d'équations* différentielles ordinaires, 

 au nombre des constantes arbitraires que comporte leur intégration complète. La proposition 

 énoncée a lieu aussi dans le cas où la fonction dont les dérivées donnent les composantes des 

 forces agissant sur les différents points matériels, renferme explicitement le temps... >• {Comptes 

 rendus, t. V, p. 62, séance du 17 juillet 1837.) Voir aussi Journal de Mathémati</uc<, t III, 

 février 1 838, p. 53, 57, etc. 



(***) Journal de Mathématiques, t. V, octobre iSzjo, p. 35o et suivantes. 



