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» Nous reviendrons sur la théorie de l'intégration générale des équations 

 simultanées aux différences partielles. Si nous nous bornons à considérer 

 pour le moment celles qu'on rencontre en appliquant la méthode que j'ex- 

 pose, la solution de la question nous sera fournie par le théorème sui- 

 vant (*) : 



» Théorème fondamental (**). Soient A = o, B = o, les deux équations 

 simultanées à résoudre. Soit f une fonction qui vérifie la première, mais non la 

 seconde, de telle sorte qu'on ait, en empruntant la notation de Jacobi : 



A (j) — o, B(_/) différent de zéro; 



je dis que l'on aura identiquement 



A[B(/)] = o, 



c'est-à-dire que le résultat de la substitution de f dans la deuxième équation four- 

 nira une nouvelle solution de là première, A = o. 



» Ce théorème étant une fois établi, on forme sans difficulté l'équation 

 de laquelle dépendent les solutions communes aux deux équations propo- 

 sées; et même il arrivera fréquemment que l'on trouvera pour déterminer 

 ces solutions communes, non pas une équation unique, mais deux ou plu- 

 sieurs équations séparées (***); ce qui facilitera singulièrement les recherches 

 ultérieures. 



« Jacobi démontre mon théorème dès le début de son ouvrage, immé- 

 diatement après le théorème cité plus haut de M. Liouville. Il en déduit 

 ensuite tout ce qui a précédé dans l'ordre historique; c'est-à-dire, d'abord 

 le théorème célèbre de Poisson sur la variation des constantes arbitraires, 

 totius meclianicœ analjticœ gravissimam propositionem cujus analogà per to- 

 tum calculum intégraient non extat; » et enfin les équations hamiltonieanes 

 de la dynamique. 



» 4. Bien qu'on puisse inférer d'un passage du Mémoire de Jacobi (p. 4 3), 

 que ce magnifique ouvrage a été composé sur la fin de l'année 1 838 ; je ne 

 crois, pas que la méthode actuelle d'abaissement soit bien celle dont l'illus- 



(*) Non ego hic immorabor queestioni générait, quando et quomodo duabus compila ibusve 

 œquationibus differentialibus partialibus una eademque functione satisfieri possit, sed ad ca- 

 sant proposition particularem investigationem restringam. Quippe quo prœclaris ttti licet arti- 

 ficiis ad integrationem expediendam commodis. Maxime au te m res absolvitur theoremate se- 

 quente. [Nova Methodus, p. 23.) 



(**) Mémoires des Savants étrangers, t. XIV, p. 804. 



(***) Mémoires des Savants étrangers, t. XIV, p. 8og. 



