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Ire auteur annonçait être en possession dans ses premières communications 

 relatives à ce sujet. On lit en effet dans une Lettre adressée à M. le profes- 

 seur Enke, et datée du 29 novembre i8iG (*) : 



«..., au moyen d'un procédé particulier et par un certain choix de 

 » grandeurs qu'on prend pour variables, on peut faire en sorte que chaque 



" intégrale obtenue tienne lieu de deux intégrations 



» Toute la marcbe de l'opération dépend chaque fois de l'intégrale qu'on 

 » a trouvée; le choix des variables dépend aussi de la même intégrale, et 

 » exige en outre l'intégration d'équations différentielles; mais toujours de 

 » telle manière qu'au moyen de l'intégrale trouvée, le système des équa- 

 » tions est ramené à un autre dont l'ordre est de deux unités moindre, et 

 » même il arrive dans beaucoup de cas, que ces équations différentielles 

 » nécessaires pour la détermination du choix des variables sont faciles à 

 » intégrer » 



» La méthode que je viens de rappeler n'exige pas ces intégrations pré- 

 paratoires dont parle Jacobi pour la détermination du choix des variables; 

 il v a donc lieu de croire que les idées de l'auteur se sont modifiées depuis 

 la date de la Lettre précédente. 



» Dans une prochaine communication, j'aurai l'honneur d'exposer à 

 l'Académie comment j'ai également reconstitué la méthode à laquelle Jacobi 

 semble faire allusion dans les lignes citées plus haut. On verra que cette 

 méthode fournit une deuxième manière d'abaisser de deux unités par chaque 

 intégrale trouvée (**) l'ordre des équations différentielles des problèmes de 

 mécanique; la méthode exige que pour choisir les variables, on intègre un 

 certain nombre d'équations différentielles, qui d'ailleurs sont presque tou- 

 jours extrêmement faciles à résoudre. 



» Je traiterai en même temps d'une manière générale la question de 

 l'intégration des équations différentielles partielles simultanées du premier 

 ordre, question résolue implicitement par ce qui précède. 



» Enfin je montrerai comment ces théories trouvent leur application, 

 quand on cherche à intégrer les équations aux différences partielles du 

 second ordre par les méthodes de Monge et d'Ampère. » 



(*) Journal de Mathématiques, t. III, février i838, p. 5^, 58 et 5(). 



(**) Quand on connaît / intégrales d'un problème, on ne peut pas en général abaisser de 

 xk unités l'ordre des équations dé ce problème. Si je dis avec Jacobi (pie chaque intégrale 

 trouvée permet d'abaisser cet ordre de deux unités, c'est qu'en suivant la marclie indiquée) 

 on ne trouvera jamais les intégrales parasites. La méthode consiste précisément à éliminer 

 ces intégrales de la solution; on les obtiendra plus tard, touttsà la fois, dès qu'on connaîtra 

 la moitié des intégrales du problème. 



