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solution de ce problème. Plusieurs travaux dus à des géomètres distingués 

 ont montré l'importance et la fécondité de la question à ce double point 

 de vue. 



» Nous avons essayé de résoudre dans le cas le plus général le problème 

 des coordonnées curvilignes et de le traiter par un procédé purement géo- 

 métrique. La nécessité d'une solution générale se fait sentir d'elle-même. 

 Une hypothèse quelconque, par exemple celle de l'orthogonalité des lignes 

 coordonnées, tout en simplifiant les formules, du moins en apparence, 

 altère toujours et souvent fait évanouir les théorèmes qui appartiennent 

 à l'essence de la question par les restrictions qu'elle y introduit. L'impor- 

 tance d'une solution géométrique est non moins évidente. Le problème des 

 coordonnées curvilignes est un problème essentiellement géométrique. Il y 

 a avantage à traiter géométriquement une question qui est du domaine de 

 la géométrie, non-seulement parce qu'alors on la considère en elle-même, 

 qu'on se rend compte de chaque élément qui conduit à la solution, mais 

 encore parce qu'en se débarrassant des auxiliaires étrangères à la question, 

 on fait disparaître la complication qu'elle présenterait sous une forme ana- 

 lytique. 



» Ainsi, Lorsqu'on passe du cas où les coordonnées sont orthogonales au 

 cas où elles sont quelconques, on trouve nécessairement un grand nombre 

 de quantités nouvelles propres au système général et qui n'appartiennent 

 pas au système rectangulaire. Ce sont les trois cosinus des angles que les 

 lignes coordonnées font entre elles, et les variations premières et secondes 

 de ces cosinus par rapport aux trois paramètres qui fixent la position du 

 point. Ces quantités nouvelles sont au nombre de trente. Si l'on traite la 

 question analytiquement, on est conduit à un système de neuf équations 

 linéaires à neuf inconnues et dont les coefficients se composent des varia- 

 tions dont nous venons de parler; or la complication qui résulte de ce sys- 

 tème d'équations n'appartient pas à l'essence du problème à résoudre. 



» Ce sont ces motifs qui nous ont déterminé à employer une marche 

 purement géométrique dans l'étude des coordonnées curvilignes en général. 

 (cite marche ne nous a pas seulement dispensé de calculs aussi longs que 

 difficile:-; mais elle nous a permis, si nous ne nous abusons, de simplifier 

 une question en elle-même très-compliquée. Cette simplification résulte 

 principalement de l'emploi d'un élément géométrique nouveau que nous 

 avons appelé courbure géométrique inclinée, et qui joue un rôle non 

 moins important que la courbure géodésique elle-même. Cet élément ne 

 sert pas seulement à abréger les calculs, mais il est un instrument précieux 



