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 mine convenablement les variables conjuguées p,-, on est certain que les 

 équations du mouvement se présenteront toujours sous notre forme cano- 

 nique, et jouiront de toutes les propriétés qui sont l'apanage de cette forme 

 remarquable. C'est en cela que consiste essentiellement la si belle et surtout 

 si féconde découverte de Lagrange. 



» 7. On peut faire une transformation plus générale; et puisque les va- 

 riables a,-, Pi, figurent absolument de la même manière dans les équations 

 différentielles (i), rien n'empêche de leur substituer in quantités qui les 

 contiennent toutes indistinctement de la manière que l'on voudra (*). Ceci 

 revient à prendre pour inconnues des fonctions, non plus des coordonnées 

 seulement, mais aussi des vitesses ou des premières dérivées des coordon- 

 nées par rapport au temps. En opérant ainsi, il est clair que, généralement, 

 on n'obtiendra pas les équations transformées sous la forme canonique. 



« Il est pourtant bien évident que le problème n'a pas changé de nature; 

 que toutes ses propriétés essentielles doivent subsister dans les équations 

 nouvelles (si je puis m'exprimer ainsi, à l'état latent); et que par consé- 

 quent on doit pomoir ramener ces équations au type d'où dérivent toutes 

 ces propriétés. 



» Le théorème qui précède apporte donc un perfectionnement important 

 à l'analyse de Lagrange, en indiquant sous quelles conditions on pourra 

 changer ainsi toutes les variables à la fois, tout en conservant la forme des 

 équations (i). Ces conditions sont exprimées par les relations (5). On les 

 énonce d'une manière abrégée en disant que les nouvelles inconnues a n b;, 

 considérées comme fonctions des anciennes p i} c/i, doivent former un sys- 

 tème canonique {**)■ 



» Cela posé, quand les quantités «,, b t sont au nombre de in, on est 

 assuré que la fonction H sera exprimable par leur moyen ; et l'on a simple- 

 ment transformé le problème en un autre de même ordre, chose qui pourra 

 d'ailleurs offrir un certain intérêt analytique, puisque, si la solution du 



(*) C'est à des transformations de ce genre qu'on est conduit quand on cherche, en sui- 

 vant les méthodes ordinaires, à éliminer l'une des inconnues au moyen d'une intégrale 

 donnée. En effet, cette opération revient en définitive à prendre pour l'une des variables la 

 quantité qui reste constante en vertu de l'intégrale connue; or cette quantité contient en 

 général toutes les variables de la question. 



(**) Le mot canonique, déjà employé par Lagrange, nous servira ainsi à désigner à la fois, 

 sans qu'il puisse en résulter aucune ambiguïté, soit un système de fonctions vérifiant des 

 relations telles que (5), soit un système d'équations de la forme hamiltonienne (i) ou (6). 



