( 555 ) 



est considéré comme l'un des plus importants de la géométrie générale: et 

 cependant ce problème n'a encore été résolu que dans des cas très-particu- 

 liers : on ne connaît, en effet, que le système des surfaces du second degré 

 homotocales anciennement découvert par Binet, les systèmes formés par les 

 surfaces dont l'équation est de la forme 



que M. J.-A. Serret a donnés dans le tome XII du Journal de M. Liouvi/le, 

 et enfin les systèmes analogues que M. W. Roberts a tout récemment dé- 

 duits de la considération des coordonnées elliptiques. Le peu de succès 

 obtenu jusqu'ici sur un sujet aussi digne d'attirer l'attention des géomètres 

 s'explique naturellement par la complication extrême que le problème pré- 

 sente au premier abord. On sait qu'il ne s'agit rien moins que de 1 intégra- 

 tion d'un système de trois équations simultanées et aux dérivées partielles 

 du 'premier ordre qui contiennent chacune six dérivées partielles distinctes. 



i: J'ai réussi à faire entrer la question dans une voie nouvelle, qui m'a 

 conduit à des résultats d'une généralité et d'une étendue inespérées. 



» Je décompose le problème en deux; je cherche d'abord les directions 

 des normales aux surfaces susceptibles de faire partie d'un triple système or- 

 thogonal. Entrons à ce sujet dans quelques détails. 



» Soient X, Y, Z les cosinus des angles que les normales N aux surfaces 

 du premier système (système p) forment avec les axes des coordonnées; 

 X,, Y,, Z, les cosinus des angles que les normales N, aux surfaces du second 

 système (système p t ) forment avec les axes des coordonnées; X 2 , Y 2 , Z 2 les 

 cosinus des angles que les normales N 2 aux surfaces du troisième système 

 (système p 2 ) forment avec les axes des coordonnées. Les neuf cosinus X, Y, 

 Z, X,, Y,, Z,, X a , Y,, Z 2 seront d'abord liés par six relations en termes 

 finis, mais ces relations peuvent être laissées décote, en exprimant les neuf 

 cosinus au moyen de trois angles Q, y, ty, comme on le fait dans les formules 

 de la transformation des coordonnées dues à Euler. En exigeant alors que 

 les droites N, N,, N 2 soient respectivement normales aux surfaces p, p, , p 2 , 

 on obtient les trois équations 



. . dtf . dQ , . - da , dQ -d® dii 



sin <h sin& -~- + cosiL — =o, cos^sinS-r 1 — simb — =o, cosO~- +~r- =o, 

 dp T dp ~ dp, J dp t dp, dç. 



qui servent à déterminer &, y, ty. 



» Les équations (i) peuvent se mettre sous différentes formes; en posant 



-v— = du, 

 sin9 ' 



