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 est compliquée et très-difficile à intégrer; néanmoins la réduction que nous 

 venons d'indiquer nous paraît constituer un très-grand pas vers la solution 

 générale du problème. 



» Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Aca- 

 démie, je me borne à considérer le cas où l'on a indépendamment des 

 équations (2) 



d'y d'y 



-d?^^~°' 



c'est-à-dire 

 et par suite 



'.> 



? =F(/»!nr , + *>i) + F '(p2> p — iÇi)' 

 = —i~F{p2,p-+- ipi) + ïïtPnP — ip,); 



c'est, comme on le reconnaît aisément, le cas où les transformées spliériques 

 des lignes de courbure de chacune des surfaces p 2 sont des lignes sphériques 

 isothermes et orthogonales (*). 



» J'emploie alors les équations (3); comme l'on a 



%=AP»P + *>•)> »!=/« (Pa. P — ip*)i 



la première de ces équations est satisfaite d'elle-même, et en exigeant que 

 la seconde le soit aussi, on reconnaît que les fonctions f et f, doivent vé- 

 rifier les deux équations 



■ | = R/* + 2 RJ + R 2 , 



^ = _R,/2- f _ 2 R ./-f. R, 



où R, R ( , R 2 désignent des fonctions arbitraires de p 2 . Ce résultat montre 

 immédiatement que les transformées sphériques des lignes de courbure de 

 chacune des surfaces p 2 , sont des cercles orthogonaux, et par conséquent 

 que les lignes de courbure elles-mêmes sont planes. Ainsi dans tous les sys- 

 tèmes triples de surfaces orthogonales que nous considérons, les lignes de 



(*) J'appelle i° transformée sphérique d'une ligne C tracée sur une surface S, la ligne 

 tracée sur une sphère de rayon 1 qui passe par les extrémités des rayons parallèles aux nor- 

 males menées à S par les différents points de C; 2° lignes sphériques isothermes, les sections 

 droites par rapport à la même sphère d'une suite de cônes isothermes. 



C. R., 1862, 1" Semestre. (T. LIV, N° 9.) "2 



