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 sees. On sait en déduire la solution commune la plus générale parla varia- 

 tion des constantes arbitraires (*). 



• 15. La détermination de la solution commune complète V dépend de 

 l'intégration du système canonique (i), dont on possède une première inté- 

 grale (8). Ce qu'il y a de curieux, c'est que, quand on cherche à profiter 

 di cejtfe intégrale connue pour abaisser les équations à résoudre, on se 

 trouve précisément conduit (§5) à intégrer deux équations différentielles 

 partielles simultanées : on retombe ainsi sur un problème du même genre 

 que le problème primitif (**). 



» Seulement la question a bien changé de face, et on la domine dune 

 manière complète. Au point ou l'on a amené les choses, on peut faire appel 

 à toutes les propriétés connues de la forme canonique; et l'on voit qu'en 

 définitive la solution de la question actuelle est encore fournie par le théo- 

 rème que j'ai appelé fondamental, parce qu'il est placé au point de ren- 

 contre de toutes les ramifications de cette théorie. 



» Mon théorème donne à la fois l'intégration des équations quelcon- 

 ques aux différences partielles du premier ordre, celle des équations cano- 

 niques, et en particulier des équations de la dynamique; nous venons de voir 

 qu'il résout le problème général de l'intégration de deux équations simul- 

 tanées quelconques el non pas seulement dans le cas auquel se restreignait 

 lacobi (***) ; enfin nous ne tarderons pas à montrer que les considérations 

 qu il résume trouvent leur application dans la théorie des équations du 

 second ordre. 



» Je regarde donc ce théorème comme le plus important de toute cette 

 partie du calcul intégral, parce qu'il tranche d'un seul coup plusieurs diffi- 

 cultés qui ont longtemps arrêté les géomètres, et qu'on était seulement par- 

 venu jusqu'ici à ramener les unes aux autres, sans pouvoir sortir du cercle 

 vicieux que j'ai indiqué. 



)> 14. L'analyse précédente est assez peu élégante ; et la symétrie des for- 

 mules est détruite par la présence d'une variable particulière t, qu'il est très- 



(*) Lagrange, Nouveaux Mémoires de l' Académie de Berlin, 1772, p. 370. 



(**) Je ne parle poiul i< i de ma deuxième méthode, qui s'applique avec succès dans, cei 

 tains cas, comme nn l'a vu. Mais on comprend qu'en général il serait éminemment antiphi- 

 Insophiqiie de pi -étendre abaisser l'ordre d'une équation à IQ variables, en demandant d'inté- 

 grer préal al fA>1 émets I (>(> équations du même genre. 



j *** ) Non ego îiie iminor(\b<n qucMtioni eetterati, rt< . ( § r> ). 



