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 le déterminer convenablement les n dérivées inconnues,/?, , p 2 ,---, p„. Soit 



( r2 ) /<(?«» $>>■••> 7»î Pi , Pi,---, Pn) = O 



l'une de ces équations. 



» Je démontrerais facilement que la condition pour que cette équation 

 soit effectivement une des relations cherchées (ou, si l'on veut, pour que les 

 équations (10) et 



on ri dV d\ d\\ 



' dq, dq, dq„J 



admettent une certaine solution commune), est exprimée par la relation 



(•4) (/,/,) = o. 



» Ce serait là mon théorème I. 



» 16. Il résulte de ce théorème qu'on peut substituer à l'intégration 

 de l'équation quelconque (io), celle de l'équation linéaire (i/j), c'est-à- 

 dire celle d'un système canonique d'équations différentielles ordinaires, si 

 l'on se reporte à la plus ancienne théorie de l'intégration des équations 

 linéaires, ainsi qu'à la signification du symbole (j\ J\). 



» Tel serait mon théorème II; c'est la réciproque du théorème de 

 Jacobi (§1). 



» 17. Il ne resterait plus qu'à faire voir le parti qu'il y a à tirer, pour la 

 simplification progressive du problème, de chacune des intégrales de l'équa- 

 tion (i4) qu'on viendra à découvrir. La solution de cette question fournira 

 le moyen de former, s'il y a lieu, l'équation qui donne les intégrales com- 

 munes à deux équations simultanées, telles que (io) et(i3). 



» Ce serait lobjet du théorème III, celui que j'ai appelé fondamental. 

 » 18. Après avoir établi ce théorème, on passerait à l'exposé métho- 

 dique des propriétés de la forme hamiltonienne; on dirait enfin quelques 

 mots des équations de la dynamique, pour rattacher ainsi ces équations, 

 mais seulement d'une manière accessoire, à la théorie qui leur doit his- 

 toriquement son existence. 



» Tel est l'ordre suivant lequel je coordonnerais les divers théorèmes 

 relatifs aux équations différentielles partielles du premier ordre : leur en- 

 semble constitue, à mon avis, l'une des théories les plus parfaites de tout 

 le calcul intégral. 



» foutes les découvertes que je viens de résumer ont leur point de dépari 

 dans la considération de l'intégrale complète, due à Lagrange, de cette inté- 



