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Enfin un programme du prix Rklilzki , prix que l'Académie de Saint- 

 Pétersbourg décernera pour la première fois en 18G4, et à partir de cette 

 époque de quatre en quatre années. 



Ce prix est destiné à encourager l'étude sur les parties centrales du sys- 

 tème nerveux. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces développables du cinquième ordre 

 par M. L. Cremoxa. 



« I. Les résultats très-importants que M. Chasles a récemment commu- 

 niqués à l'Académie, m'ont porté à la recherche des propriétés des surfaces 

 développables du cinquième ordre. J'ai l'honneur d'énoncer ici quelques 

 théorèmes qui ne me semblent pas dépourvus d'intérêt. 



» En premier lieu, toute surface développable du cinquième ordre est 

 de la quatrième classe et a : i° une génératrice d'inflexion; 2 une courbe 

 cuspidale du quatrième ordre, ayant un point stationnaire; 3" une courbe 

 double du deuxième ordre. 



» 2. Soit 2 une développable du cinquième ordre; C sa courbe cuspi- 

 dale; a le point stationnaire de C; b le point où cette courbe gauche est 

 touchée par la génératrice d'inflexion de 2; c le point où cette génératrice 

 perce le plan osculateur de la courbe C en a ; d le point où le plan station- 

 naire, c'est-à-dire osculateur en b à la même courbe, est rencontré par la 

 génératrice de 2 qui passe par a. On a ainsi un tétraèdre abcd, dont les 

 faces acd, bcdet les arêtes ad, bc sont respectivement deux plans tangents 

 et deux génératrices de la développable 2. Ce tétraèdre a une grande im- 

 portance dans les recherches relatives à cette développable ( 1 ). 



» 5. Une génératrice quelconque de 2 rencontre une autre génératrice 

 delà même surface; nous dirons conjuguées ces deux génératrices situées 

 dans un même plan. De même on dira conjugués les plans qui touchent 2 tout 

 le long de ces génératrices ; et conjugués les points où ces mêmes droites sont 

 tangentes à la courbe C. 



» La droite qui joint deux points conjugués de C passe toujours par le 

 point fixe c. Le lieu de cette droite est un cône S du second degré, qui est 

 doublement tangent à la courbe cuspidale C. 



(1) M. Cayley fait mention de ce tétraèdre dans son Mémoire: On the developable sur- 

 faces, etc. (Camb. and Dub. Math. Journal, vol. V, p. 52.) 



