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analyse MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations différentielles par- 

 tielles du premier et du second ordre; par M. Edmond Boiïr. (^Quatrième 

 et cinquième extrait) (i). 



(Renvoi à la Section de Géométrie.) 



« 19. Intégration de l'équation générale des lignes géodès'iques. — On a 

 donné aux équations différentielles des lignes géodésiqucs un grand nombre 

 de formes qui présentent de l'intérêt au point de vue de l'étude des pro- 

 priétés générales de ces courbes, et de leurs relations avec d'autres lignes 

 également définies par des équations différentielles. 



» Quand on cherche à obtenir les équations finies de la ligne géodé- 

 sique sur une surface quelconque, le mieux est de considérer cette courbe 

 comme la trajectoire d'un point matériel assujetti à rester sur la surface, 

 libre d'ailleurs de toute action extérieure. 



» Comme les coordonnées qui définissent la position du mobile sont au 

 nombre de deux seulement, il suffit, pour avoir la loi complète du mouvement, 

 de connaître, outre l'équation des forces vives, une autre intégrale première 

 quelconque, indépendante du temps. C'est cette intégrale que je vais me 

 proposer de rechercher. 



« Dans les problèmes du genre de celui-ci, une surface est définie par 

 l'équation qui donne, en fonction de deux coordonnées ou variables indé- 

 pendantes quelconques, le carré (ds 2 ) de la distance de deux points infini- 

 ment voisins pris sur la surface. Cette équation peut affecter un grand nom- 

 bre de formes, toutes équivalentes, selon le système de coordonnées em- 

 ployé. Sans insister sur les propriétés bien connues de ces diverses formes, 

 je prendrai 

 (i5.) ds 2 = hldxdy, 



X étant une fonction donnée des deux variables indépendantes oc et j. 



» Ces deux variables sont des quantités imaginaires, ce qui n'a pas d'in- 

 convénients, tant qu'on reste dans le domaine de l'analyse pure. En revan- 

 che, le choix de ces coordonnées particulières simplifie considérablement 

 les opérations, en vertu de la propriété suivante : 



11) L'Académie, sur la demande de la Section de Géométrie, qui aura prochainement à 

 discuter les travaux des candidats pour la place devenue vacante dans son sein, par suite du 

 décès de M. Biot, a autorisé l'impression de la double Note de M. Bour quoique l'étendue en 

 dépasse notablement la limite assignée par le Bèglement. 



