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» Il est évident que la forme de l'équation (i5) n'est pas altérée quand 

 on remplace X et y par deux fonctions arbitraires, X, et y, , l'une de x, 

 l'autre de y. Or nous verrons que ces fonctions arbitraires s'introduisent 

 dans tous les calculs; et l'on s'en débarrasse immédiatement, aussitôt 

 qu'elles paraissent, grâce à la remarque précédente. Elles gêneraient néces- 

 sairement plus ou moins, avec tout autre système de variables. 



» J'admettrai immédiatement, pour en finir avec tous les préliminaires, 

 qu'en prenant x et y pour les variables indépendantes qui définissent la 

 position d'un point mobile sur la surface, et désignant par X et Y les varia- 

 bles conjuguées, l'équation des forces vives, prise comme nous en avons 

 l'habitude, est 



(•6) H = -i£n- 



> Je puis maintenant passer à la recherche de l'intégrale de laquelle dé- 

 pend la solution du problème. 



» 20. On sait, d'après un théorème très-simple dû à M. Massieu, que 

 celte intégrale se compose d'une constante égalée à une fonction homoyène 

 des quantités X et Y, les autres variables x et y figurant dans cette fonc- 

 tion d'une manière quelconque. Je pourrais ajouter que le degré de cette 

 fonction homogène peut toujours être supposé égal à zéro, ce qui ramène- 

 rait l'intégrale cherchée à dépendre seulement de trois variables : x, y, et 



X 



le quotient — ; j'aime mieux me borner dans cet extrait à considérer les 



cas où il existe une intégrale entière (**) par rapport à X et Y, de la forme 



(17) C= A X m 4- A, X m -' ¥ + ...+ A,X m -' Y' -f- . . . -+- A m \ m , 

 A , A, , . . . , A,„, désignant des fonctions à déterminer de x et /. 



'*) L'équation non linéaire à laquelle satisfait la fonction V, s'obtient, comme on sait, en 



d\ dV 



remplaçant X et Y respectivement par -— , — • Elle est de la forme pa — l,\ étant une 



dx a y 



fonction quelconque de x et de y, etp, q représentant comme à l'ordinaire les dérivées par- 

 tielles de la fonction inconnue. 



On peut considérer tous les calculs qui vont suivre comme ayant pour objet l'intégration de 

 l'équation pq = \, dans les cas où cette intégration est possible par nos méthodes. 



Cette équation, pq =>, est l'intégrale singulière de l'équation du second ordre vérifiée par 

 toutes les surfaces qui répondent à une valeur donnée de la fonction X. Ces surfaces sont 

 toutes dévcloppables les unes sur les autres. (Voir ma Théorie de la déformation des surfaces.) 



(**) M. Bertrand a étudié le premier les intégrales des problèmes de mécanique qui sont 



