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 » L'équation (H,C)= o, qui exprime que (C) est une intégrale, se dé- 

 veloppe ainsi : 



dy dx 



l '°'\ +E[Tf + (» + ')A,.,f H- $ + („-,•) A,^ X ~Y<«. 



Cette équation étant une identité, les coefficients sont tous nuls séparément; 

 et l'on a les conséquences suivantes : 



» i° A est une fonction de jc, et A,„ une fonction de y. 



» 2 En annulant le terme général de l'équation (18), on a une relation 

 entre deux coefficients consécutifs quelconques. Donc, puisque l'on connaît 

 le premier et le dernier de ces coefficients, on pourra déterminer tous les 

 autres de proche en proche, en commençant par celle des deux extrémités 

 du polynôme que l'on voudra. 



» 3° Enfin, en égalant les deux valeurs trouvées de cette manière pour 

 l'un des coefficients, on aura l'équation de condition qui exprime que C 

 est une intégrale. Cette équation nous servira à déterminer quelles sont les 

 valeurs de X qui répondent à une intégrale du premier, du deuxième, du 

 troisième degré, etc. 



» 21. Pour simplifier les calculs, nous remplacerons d'abord par l'unité 

 les deux fonctions arbitraires A , A,„. Pour cela faisons (si aucune de ces 

 quantités n'est nulle) : 



(19) A — u'\ A m = v"', ~ = clx t , -^- = d),, Xm< = >.,. 



» On voit que cette transformation revient à' prendre d'autres variables 

 x, = y (.r), y, = t|i( j-), ce qui donne 



i = ? '(x), ; = f(j), >. = x <? '(x)f(jj. 



» Si de plus on pose 



A V A i' 



algébriques par rapport aux vitesses. Cette théorie est fondée sur la forme particulière de la 

 fonction H, dans le cas des équations de la dynamique. Elle s'applique ainsi spécialement à 

 ces équations, et non plus, comme tout ce que nous avons dit jusqu'ici, à tous les systèmi - 

 canoniques qui repondent aux valeurs quelconques de H. 



