6', s 



on mettra l'équation générale qui lie deux coefficients consécutifs quel- 

 conques sous l'une des deux formes suivantes : 



-^ + X,— + ( W - a ,)P.._ = o. 



« Comme P = Q = i, on peut considérer toutes les quantités P,, Q ( . 

 comme connues. 



o II ne reste donc plus qu'à trouver l'équation de condition pour une 

 valeur donnée de m. Je distinguerai deux cas : 



» i° Si m est pair et égal à 2 A, il faudra écrire que les deux valeurs ob- 

 tenues pour le terme du milieu sont égales, soit 



P*=Q*. 



» 2° Si »iest impair et représenté par i k'-h i, il faudra écrire P A ' + ,=X ( Q A '. 

 d'où, en mettant cette valeur de P A '+, dans l'équation (A), et faisant i = k', 

 m= 2Â'+ i, 



(20) 



dx, dy, 



» 22. applications. — Au point de vue qui nous occupe actuellement, ou 

 peut classer les surfaces d'après le degré de l'intégrale algébrique du pro- 

 blème de la ligne géodésique, au moins quand cette intégrale existe. On 

 voit cpie cette classification est basée sur les propriétés qui se conservent, 

 quand on déforme les surfaces qu'on étudie. En donnant ici cette première 

 ébauche, je ne m'occuperai pas des surfaces qui restent pour le moment en 

 dehors de ma classification. 



» Les surfaces développables constituent une classe à part, la classe zéro, 

 si l'on veut. Caractère : X, = i ; en général, X = <?'[&)$'[?)• 



» Surfaces de la première classe: m = i , k' = o, P = Q = i. L'équa- 

 tion (ao) est donc 



d'f., rfÀ, 

 dx, dy, 



d'oii 



rai) X, =*(•*, -J,), ). = 0[ ? (x)-i(j)] ? '(.rwj/(j). 



» Les surfaces de la première classe sont développables sur les surfaces 

 de révolution. Remarquons en passant que. si nous effectuons une trans- 



