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 formation de coordonnées quelconque sur la surface, en posant 



*'=/"(£i>î)i y=f/i(§i'?l)» 



nous aurons l'expression de du 1 sous une forme toute différente de la forme 

 (i5); et la propriété qu'a la surface de pouvoir être appliquée sur une sur- 

 face de révolution ne se trouvera plus en évidence, avec le nouveau système 

 de variables. Mais l'intégrale du problème des lignes géodésiques restera du 

 premier degré; et cette propriété, facile à vérifier, fournit le moyen de re- 

 connaître très- simplement si une surface donnée d'une manière quelconque 

 est ou n'est pas développable sur une surface de révolution. 



» Surfaces de la deuxième classe : m = a, k == 1 . Les équations (A) et (B) 

 donnent, en faisant ? = o, et laissant d'ailleurs m quelconque, 



, , «tp, d~f. t i/o, ti), 



\ii) \-m-r- — o, — - + m — = 0. 



djr, ax\ dx, ay, 



» Pour continuer les opérations, il est commode de faire 



X.'= 



dx, dy\ 



et d'introduire au lieu de À, la fonction L ainsi définie; on tire alors des 

 équations (22) 



(23) p, = _ r/J £i, Q | = _,„l± 



» L'équation de condition , P, = Q, , est donc 



{a) ^ = ^ 



d'où 



L=*(x, + 7.) + V(x t -jX X. = «-(âTi + /,')- Vfo -j,), 



1 = ! <D"[ ? (x) + ï(jr)} - T'[ 9 {x) - «j,( y)] | ? '(x)<j/ ( j). 



» Les deux cas que je viens de considérer (*) sont les seuls qu'on ait 

 traités jusqu'ici ; la méthode actuelle va facilement au delà. 



(*) Les formules précédentes ne résolvent pas d'une manière générale le ras où l'intégrale 



C. R., 1862, I er Semestre. (T. LIV, N° H.) 8/| 



