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 » Surfaces de la troisième classe : m = 3, k' = i. Introduisant ces va- 

 leurs dans l'équation (20), ainsi que les expressions générales ( a3) de P, et 

 Q,, on obtient immédiatement l'équation de condition 



d r/L d-L d d-L d-L _ 



dx, dx, dy, dx.-' d), dx^dy^ dy\ 



» Surfaces de la quatrième classe : m = 4? & =■», En taisant 1 = 2 dans 

 les équations (A) et (B), nous allons trouver les valeurs générales de P 2 et 

 deQ 2 : 



D'où en faisant m = 4, t 1 ' P 2 = Q 2 , 



, d : d'L d 3 L d'L d'L \ d I d-L rf 3 L rf'L rf a L \_ 



^ ' dx, \dx,dy, rtx[ dx] dx\dy,j dy, \d,xdy, dy* dy\ dx,dy\ ! 



» 25. Le polynôme (17) peut être décomposé en un produit de facteurs 

 égaux ou inégaux, de la forme X 4- tf, Y, a, étant une fonction de x et ) . 



X 



Ces quantités «,- (qui sont les racines de l'équation en — qu'on obtient en 



égalant notre polynôme à zéro), ou plus généralement tous les zéros et tous 

 les infinis de la fonction (algébrique ou non) de — , qui reste constante en 

 vertu de l'intégrale cberchée, satisfont à l'équation 



M dj--^ + é-\/7, = - 



(C) est du second degré ; car nous avons suppose qu'aucun des coefficients extrêmes 

 n'était nul. Les surfaces pour lesquelles ce fait se présente doivent être considérées comme 

 une dépendance de la première classe ; c'est-à-dire que je rattache à la classe (/«) les sur- 

 faces pour lesquelles la fonction C est le produit d'un polynôme du degré m par une puis- 

 sance quelconque X". Quand la fonction qui multiplie X v est du premier degré, >, satisfait .1 

 l'équation 



(y— \)x, + (* + i)y x V, =x(X), 

 y désignant une fonction arbitraire. 



