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 Cette équation permet de poser 



, ., F,. dS ir-a- dS 



» On déduit de là que la fonction S vérifie l'équation — — = — X , qui 



revient encore à pq = X, ou à l'équation même que l'on se propose ici d'in- 

 tégrer. 



» La fonction S étant supposée connue, si l'on pose S = constante, on a 



une équation en x et y, d'où l'on peut tirer ~i avec une fonction arbitraire 



provenant de ce que S est donnée par une équation à différences partielles 

 du premier ordre. 



» Toutes les valeurs, a, des zéros et des infinis de la fonction que nous 

 avons considérée sont comprises comme cas particuliers dans cette expres- 

 sion générale de -f- On a en effet (25) 



d.r • ' 



dS rfS 



doc dr 



» 24. Intégration des équations du second ordre. — J'ai montré dans la 

 théorie des équations du premier ordre comment chaque intégrale particu- 

 lière permet de simplifier progressivement le problème en abaissant l'ordre 

 des équations qui doivent donner les intégrales suivantes ; j'ai rappelé com- 

 ment on trouve une solution complète de ce même problème au moven 

 d'un nombre suffisant d'intégrales, contenant chacune une constante arbi- 

 traire; enfin Lagrange nous a appris depuis longtemps à transformer cette 

 solution complète en intégrale générale, par la méthode de la variation des 

 arbitraires. 



» C'est une théorie de ce genre que je voudrais tenter d'édifier dans le 

 cas des équations du second ordre. La tâche est difficile et je n'ai encore pu 

 réunir qu'un bien petit nombre de matériaux capables de figurer dans le 

 pian général que je viens d'esquisser. 



» Quoi qu'il en soit, les principes exposés à l'occasion des équations du 

 premier ordre sont suffisants pour résoudre toutes les équations du second 

 ordre qu'il est possible d'aborder par les anciennes méthodes de Monge et 

 d'Ampère, ou pour prouver qu'une pareille solution est impossible. Deux 

 mots me suffiront pour débarrasser ce premier chapitre des tâtonnements et 



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