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» La fonction cherchée V doit donc satisfaire a deux équations simulta- 

 nées du premier ordre; or nous savons dans quels cas deux pareilles équa- 

 tions admettent une solution commune, et nous savons trouver cette solu- 

 tion commune, quand elle existe. Nous n'aurons donc jamais aucune 

 difficulté à appliquer la méthode d'Ampère, toutes les fois qu'elle sera 

 ipplicable. 



» 27. Les cas où les équations de la caractéristique n'admettent pas de 

 combinaison intégrable ont à peu près échappé jusqu'à présent à tout essai 

 d'une théorie générale. Dans le système que je propose ici d'après 

 Lagrange (*), la série des opérations comprend trois parties bien distinctes. 



» i° Recherche des intégrales particulières. — L'invention, j'ai déjà eu oc- 

 casion de le dire, ne saurait être soumise à des règles bien précises. Tout ce 

 que je puis conseiller ici, c'est d'étudier directement, avec toutes les res- 

 sources géométriques ou analytiques dont on dispose, le problème dont 

 l'équation à intégrer est la traduction algébrique. Souvent une question, 

 rebelle dans toute sa généralité, deviendra plus ou moins abordable, conve- 

 nablement particularisée. On trouvera ainsi des intégrales, plus simples que 

 l'intégrale générale, qui représenteront un premier pas fait vers la solution 

 cherchée. 



» 2° Formation de l'intégrale complète. — En supposant qu'on ait obtenu 

 une solution contenant une ou deux constantes arbitraires, comment cette 

 connaissance peut-elle servir à simplifier les calculs subséquents qui doivent 

 aboutir à la solution complète? Quand on a trouvé plusieurs intégrales du 

 même genre, leur combinaison nous apprend-elle quelque chose de plus 

 que chacune d'elles prise isolément? Enfin, combien faut-il d'intégrales 

 particulières, et quelles sont les conditions qui doivent être satisfaites pai 

 ces intégrales, pour qu'on puisse en conclure la solution complète avec 

 cinq constantes arbitraires? 



» Toutes ces questions sont entièrement neuves; et il m'est impossible de 

 donner ici la moindre indication sur la manière de les traiter au point de 

 vue général. Je mentionnerai seulement la remarque bien simple qui m a. 

 conduit au résultat dans le travail que je rappelle, et qui peut être utile dans 

 un grand nombre de circonstances analogues. Il arrive souvent que le pro- 

 blème consiste à trouver toutes les surfaces qui jouissent d'une certaine 

 propriété indépendante du choix des axes; et alors il est évident qu'une 



(*) C'est ce système que je suis parvenu à appliquer, non sans de très-grandes longueurs 

 de calcul, dans le Mémoire couronné par l'Académie, et actuellement sous presse 



