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 Or le premier de ces résultats fait voir qu'en supposant U = o, V = o, on 

 a eue 2 + (b 4- c) xy + dy 2 — o, et le second, qu'en supposant U = o, 



V = o, on a de même az 2 -h (b + c) z« + du 2 = o. Les surfaces U = o, 



V = o se coupent selon la courbe excubo-quartique et les droites (x = o. 

 y = o) et (z == o, w = o) ; mais la surface a.r 2 -+- {b -+- c) xy -+- dy 2 = o 

 ne passe que par la première, et la surface az 2 -+- (b -+- c) zw -+- </w 2 = o ne 

 passe que par la seconde de ces deux droites; donc les deux surfaces se 

 coupent selon la courbe excubo-quartique, mais non pas selon l'une ou 

 l'autre des deux droites, c'est-à-dire que les deux surfaces cubiques 



ax 2 -+- {b + c)xj + dj 2 = o, 

 a: 2 -h {b -h c) zw 4- du 2 = o, 



se coupent selon la courbe excubo-quartique, et encore selon une courbe 

 quintique 9 — 6 + 2. 



» Les deux surfaces cubiques ont chacune une droite double, elles sont 

 donc des surfaces réglées. La courbe est donc comprise parmi les courbes 

 décrites sur une surface cubique réglée, pour lesquelles M. Chasles a trouvé 

 dernièrement une construction géométrique très-élégante. 



» Il est évident qu'au lieu de la fonction linéaire b + c, on peut substi- 

 tuer dans les équations une seule fonction linéaire quelconque des coor- 

 données. 



» La courbe a cinq points doubles apparents; elle peut donc ne pas 

 avoir d'autre singularité, ou avoir un point double ou de rebroussement : 

 cela donne les trois sous-espèces 



V. 7 , V:8, V.9 



de M. Salmon. 



» On démontre sans peine que toute courbe quintique est plane, qua- 

 dri cubique, quadri-quartique oucubi-cubique; mais, pour faire voir qu'il 

 n'existe que les cinq espèces ci-dessus mentionnées, il y a encore plusieurs 

 cas à considérer. Par exemple, pour les courbes cubi- cubiques, on pourrait 

 supposer que les deux surfaces cubiques avaient en commun une courbe 

 qnadri-quadrique : si cela était, les équations des deux surfaces seraient de 

 la forme Vx — XJj~ = o, Vz — Uw=o (surfaces qui ont en commun la 

 courbe quadri-quadrique U = o, V = o), mais dans ce cas la courbe quin- 

 tique serait située sur la surface quadrique x<ù — j-z — o, et Ion ne fait 

 que retrouver l'espèce quadri -cubique 6 — 1. J'ai fait, après M. Salmon, 

 cette revue des différents cas, et je me suis assuré qu'il n'y a que les 



