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■ Admettons donc que c etC soient les centres des deux faisceaux cher- 

 chés et que les équations ( i) et (2) représentent les rayons homologues des 

 deux systèmes. Puis soient x, j-, s avec les indices 1, 2,... 7 les. coordonnées 

 homogènes des sept points donnés du premier système et de X, \ , Z avec 

 les mêmes indices Ips coordonnées des points correspondants de l'autre 

 système. 



» Alors x signifiant l'un quelconque des sept indices; les deux équa- 

 tions 



(3) {a) x -l x {a,) x = o, (A) x — l x {A% — 



donnent les quatorze conditions pour que sept rayons du faisceau c passent 

 par les sept points du premier système et que leurs rayons homologues de 

 l'autre faisceau C passent par les sept points de l'autre système, en supposant 

 que (a) x , [a { ) x , (A) x , (A') x soient les expressions dans lesquelles a, a u S.. A', 

 se transforment par changement des coordonnées variables dans les coor- 

 données (correspondants à l'indice a:) des pointsdonnés de l'un et de l'autre 

 svstème. 



» Les quatorze conditions se réduisent par l'élimination de }. x . aux 

 suivantes : 



ce qui donne la solution de notre problème. 



» Qu'on détermine les douze constantes contenues dans les quatre ex- 

 pressions a, a t , A, A', de telle sorte qu'elles remplissent les sept équations 

 (4); on trouvera ensuite par les équations 



(5) a = o, a, = o 

 les coordonnées du centre c et par 



(6) A = o, A' = o 



les coordonnées du centre C. 



» N'ayant que sept équations pour la détermination de douze con- 

 stantes, on pourrait conclure qu'il y aurait un nombre indéfini de solu- 

 tions. Mais, au contraire, le problème est complètement défini, comme 

 M. Chasles le remarque. 



» Four démontrer cela, nous posons : 



= a x + jS y + - /o z, A == v» X -t- fi" Y h- /Z, 



' a, — v.,x -+- /3, y -+-y,z. A' -.= a' X -f- j3' Y + /Z. 



