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Digression relative aur surfaces développables du sixième ordre. 



» (>. Nous avons eu à considérer dans ce qui précède deux développa- 

 bles différentes du sixième ordre, qui se correspondent corrélativement. 

 La première a pour arête de rebroussement une courbe du quatrième ordre 

 à point double, et l'autre, une courbe du sixième ordre à quatre points de 

 rebroussement. 



» La première a une courbe nodale du sixième ordre, formée de deux 

 courbes planes de troisième ordre, et la seconde a une courbe nodale qui 

 est encore du sixième ordre, et qui est formée de trois coniques planes. 



» 7. Une question se présente ici naturellement : une développable du 

 sixième ordre peut-elle avoir une arête de rebroussement autre que la courbe 

 du quatrième ordre à point double et la courbe du sixième ordre à quatre 

 points de rebroussement? 



» On reconnaît aisément que l'arête de rebroussement d'une dévelop- 

 pable du sixième ordre ne peut pas être supérieure au sixième ordre. Car 

 un plan tangent à la surface la coupe suivant une courbe du quatrième or- 

 dre : or cette courbe ne peut pas avoir plus de trois points de rebroussement, 

 et par conséquent ne peut pas rencontrer l'arête de rebroussement de la 

 développable en plus de trois points, qui, avec les trois points réunis au 

 point d'osculalion, font six points dans un même plan. Ainsi cette courbe 

 qui, comme nous l'avons vu, peut être du sixième ordre, ne peut pas être 

 d'un ordre supérieur. 



» Mais elle peut être du cinquième ordre, pourvu qu'elle ait deux points de 

 rebroussement. 



» Car la théorie générale des courbes d'ordre quelconque tracées sur. 

 l'hyperboloïde, appliquée à la courbe du cinquième ordre M(jc 3 ^* ), montre 

 immédiatement que, quand cette courbe a deux points de rebroussement, la 

 développable osculatrice, lieu de ses tangentes, est du sixième ordre et de la 

 cinquième classe. [Comptes rendus, t. LUI, art. 25.) (i) 



» 8. Une section plane de cette développable est aussi du sixième ordre 

 et de la cinquième classe. 



» Cette courbe a cinq points de rebroussement ; et par suite cinq points 

 doubles, deux tangentes d'inflexion et quatre tangentes doubles. (Jbid., art. 2.*» 

 et 27.) 



i M. Cayley a traité de la classification et de la représentation analytique des courbes 

 gauches du cinquième ordre, dans une communication insérée au Compte rendu de la der- 

 nière séance, p. (>7'.>. 



