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 » série de surfaces coupe chaque surface de la première série suivant le 

 » réseau complet des lignes de courbure de cette surface. » 



» La détermination des surfaces de la première série dépend de la déter- 

 mination des trois axes de chaque surface. Or, si l'on appelle K le rayon des 

 sphères, E, E' leurs centres, O le milieu de EE'; D, D' les projections des 

 points de contact des sphères avec la surface sur la ligne des centres; T, T' 

 les pôles des deux cordes de contact par rapport aux sphères; en désignant 

 par OA, OB, OC le grand axe, l'axe moyen, le petit axe de la surface, ces 

 trois axes sont très-simplement déterminés au moyen des trois relations 

 suivantes : 



Ôà = OD X OT, Ôï = R 2 X ~, ÔC = ED X OT, 



OD, OT étant comptées positivement ou négativement suivant que les 

 points D et Tsont à droite ou à gauche du point A; ED étant positif ou 

 négatif suivant que le point D est à droite ou à gauche du point E. 



» En donnant aux points D, D' toutes les positions possibles sur la ligne 

 des cenlres des deux sphères, et dans l'intérieur de chacune d'elles, l'on 

 obtient la série des surfaces du second ordre qui sont doublement tan- 

 gentes en leurs ombilics, à ces deux sphères. Il y a trois cas à examiner. 

 Les sphères sont extérieures l'une à l'autre, ou bien tangentes extérieure- 

 ment, ou bien sécantes. 



» Premier cas. — Supposons que les lignes de contact delà surface avec 

 les deux sphères s'éloignent du point O. Les contacts devant être réels, ces 

 lignes sont d'abord tangentes aux deux sphères, puis deviennent sécantes et 

 s'approchent des points de contact des deux sphères avec les cônes qui leur 

 sont circonscrits. Dans cet intervalle, les surfaces sont des hyperboloïdes à 

 deux nappes. Ils ont leurs axes inégaux, à l'exception du premier hyperbo- 

 loïdequi est de révolution. L'axe réel est situé sur la ligne des centres des 

 deux sphères, lesquelles sont toujours intérieures à la surlace. 



» Lorsque les lignes des contacts s'éloignent des points de contact des 

 sphères avec le cône qui leur est circonscrit, et s'approchent des centres 

 des sphères, l'on a des hyperboloïdes à deux nappes, à ax( s inégaux, et 

 dont l'axe réel est OC. Les sphères sont extérieures a ces hyperboloïdes. Le 

 dernie: 1 hyperboloïde de ce groupe dégénère en un couple de plans pa- 

 rallèles. 



» Les lignes des contacts, s'éloignant des cenlres des sphères, finissent 

 par leur devenir tangentes. Dans cet intervalle, les surfaces sont des ellip- 



