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soïdes à axes inégaux, hormis le dernier ellipsoïde qui est de révolution. 



» Deuxième cas. — L'on a les mêmes groupes de surfaces que dans le 

 premier cas, à l'exception du premier groupe qui s'évanouit. 



» Troisième cas. — L'on a les mêmes groupes de surfaces que dans le se- 

 cond cas. Mais il existe un nouveau groupe de surfaces qui sont intérieures 

 aux deux sphères et du genre ellipsoïdal. 



» La détermination des surfaces de la seconde série, c'est-à-dire des sur- 

 faces de révolution du second ordre, inscrites ou circonscrites aux deux 

 sphères, dépend de la détermination des deux axes de la conique méridienne 

 de ces surfaces. Or ces axes ne sont autre chose que les valeurs de OA et de 

 OC, dont nous avons donné précédemment l'expression. Si l'on suppose 

 que les points D, D' prennent toutes les positions possibles, l'on obtiendra 

 la série complète des coniques méridiennes. Les unes, tangentes réellement 

 aux deux sphères, ne sont autre chose que les sections principales (OA, OC) 

 des surfaces de la série que nous venons de discuter, et correspondent aux 

 diverses positions des points D, D' dans l'intérieur des sphères. Les autres 

 sont tangentes imaginairement aux deux sphères et correspondent à toutes 

 les positions possibles des points D, D' au dehors des sphères. 



» Il est utile de remarquer que les expressions de OA, OB, OC ne servent 

 pas seulement à faciliter la discussion de l'une et l'autre série de surfaces ; 

 mais qu'elles donnent la construction géométrique la plus simple des axes 

 de ces deux surfaces, 



» Il est maintenant aisé de voir que le théorème sur la description des 

 lignes de courbure des surfaces du second ordre que nous avons donné 

 dans les Comptes rendus de l'Institut, t. LU, p. io85, s'applique à chacune 

 des surfaces du second ordre doublement tangentes, en leurs ombilics, aux 

 deux sphères données, et que par conséquent la deuxième série de surfaces 

 détermine sur chaque surface de la première série le réseau complet de ses 

 lignes de courbure. 



» Une des conséquences de ce dernier théorème est que, « Si l'on mené 

 » toutes les surfaces de révolution du second ordre, circonscrites à deux 

 » sphères égales, elles interceptent sur le plan tangent commun à ces deux 

 » sphères un réseau complet d'ellipses et d'hyperboles homofocales, dont les 

 » fovers sont les points de contact du plan tangent avec les deux sphères. » 



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