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géométrie. — Note sur tes surfaces parallèles; par M. W. Roberts. 



« J'ai remarqué, dans une Note communiquée récemment à l'Académie, 

 que la formation de l'équation de la surface parallèle à une surface donnée 

 conduit par une substitution simple à celle delà surface enveloppe des plans 

 passant par les points de la surface donnée et perpendiculaires aux rayons 

 vecteurs, issus d'un point fixe quelconque. Je me propose maintenant de 

 faire voir comment l'équation de la surface parallèle à une surface donnée 

 S peut être transformée dans celle de la surface parallèle à la surface S', dé- 

 rivée de S par la méthode des rayons vecteurs réciproques. A cet effet, dési- 

 gnons par x',y', z'ies coordonnées d'un point quelconque de S, et soit m 2 

 !<- rectangle constant, formé par les rayons vecteurs de S et S' : la surface 

 parallèle à S' sera l'enveloppe des sphères ayant pour rayon k, quantité 

 constante, comptée sur les normales et représentées par l'équation 



( 



.*• 



"'r \ . ,. -<■- i =ki 



x' 2 -hj" ■+■ z'- 



Cette équation peut s'écrire aussi comme il suit : 



4- ( '^i r >v+ (- — z'Y 



\x 2 + y 2 -hz 2 — /•'' J I \x 2 + J 2 -I- z 2 — l> 2 ) 



\ x> + 7'4-2 J -ii ■ 



m 1 /■' 



{X 2 -+- j--+-z- — k 2 f 



et l'on se convaincra sans difficulté qu'en remplaçant dans l'équation de la 

 parallèle à S, x,y, z, k, respectivement par 



m'x m'y m'z m 2 /, 



J 2 +jt : + z ! -P' x> -f-j) J -H z 2 — /-'' x 7 -+- y 2 -h z 2 — h 2 ' x' -+-/' + z 2 — /'' 



on aura l'équation de la parallèle à S', surface inverse dérivée de S. Quel- 

 ques résultats intéressants peuvent s'obtenir en faisant application de nos 

 théorèmes aux surfaces du second degré. M. Salmon nous fait connaître une 

 méthode pour trouver l'équation de la parallèle à une surface du second de- 

 gr,é, et M. Cayley a donné au résultat une forme très-symétrique. Ce savant 



x' 1 V a S 3 



géomètre a montré que la parallèle à l'ellipsoïde — -+- -r- H — - = ! est l'en- 

 veloppe des ellipsoïdes représentés par l'équation suivante, qui renferme 



C. R , 1862, I er Semestre. (T. LIV, N° 14.) ' °3 



