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MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES. — Méthode pour la résolution, par approxima- 

 tions successiues, des probtèmes à deux inconnues, posés ou non posé* en 

 équation; par M. de Saint- Vexant. 



(Commissaires, MM. Bertrand, Serret. ) 



« Pour peu qu'on applique les mathématiques, Ton se trouve très-sou- 

 vent dans l'obligation de résoudre par approximation des problèmes numé- 

 riques, le pins ordinairement à une inconnue, dont les conditions, analyti- 

 quement exprimées, donnent des équations ou algébriques de degré élevé 

 ou même transcendantes. On sait que la méthode de solution à laquelle on 

 revient presque toujours, après en avoir essayé plusieurs, est celle que Car- 

 dan a appelée Règle d 'or « universelle, dit-il, et ne laissant pas d'autre 

 » règle à désirer, » et qui, longtemps inaperçue ou oubliée, a été reconnue, 

 deux siècles et demi après, ne différer en rien de la règle si ancienne El ou 

 Al-khatarn (des deux erreurs) ou de double fausse position, que les Indiens 

 et les Arabes n'appliquaient toutefois qu'aux problèmes du premier degré, 

 résolubles d'un seul jet et exactement, tandis que l'auteur de Y Ars magna 

 a appris à l'employer à plusieurs reprises pour approcher rapidement et 

 aussi près qu'on veut de la solution de tous les autres problèmes à une in- 

 connue, une fois qu'on a trouvé, par un tâtonnement ou autrement, deux 

 nombres dont la valeur qu'on cherche ne soit pas trop considérablement 

 éloignée. 



» On connaît les avantages de cette méthode de solution, appelée aujour- 

 d'hui des parties proportionnelles ou des sécantes, sur la méthode des tangenks 

 ou de Newton, qui n'est plus simple et plus expéditive qu'exceptionnelle- 

 ment, et qui exige que préalablement l'on resserre beaucoup les limites 

 entre lesquelles la solution désirée de l'équation donnée f (x) = o se trouve 

 comprise, pour que les résultats successifs ne s'en écartent pas de plus en 

 plus; car, comme l'avait observé M. Poinsot longtemps avant les recher- 

 ches de Fourier, l'usage de la corde (ou sécante) de l'arc de Ta courbe 

 y = f(x) dont on cherche le point d'intersection avec l'axe des x, « évite 

 » le danger des divergences, » et par son moyen l'on est, dit-il, sûr d'ap- 

 procher; tandis que la tangente newtonienne « ne sert que pour des équa- 

 » tions déjà à peu près résolues. » 



» On peut ajouter que la méthode de Newton exige que le problème soit 

 posé en équation et que l'on tire du premier nombre f(x) la dérivée sou- 



C. R., 1862, i« Semestre. (T. LIV, N° 18.) l °9 



