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 les coordonnées de ces points représentées par 



(!„, b , f ; a, , b,, f, ; a 2 , b 2 , f 2 pour la première surface, 

 «o^o.fo; fl|,i|,FiJ a 2 , 6 2 ,F 2 pour la deuxième; 



si l'on fait encore pour abréger 



(3) f,F 2 -^, = (1,2), f,F -f F 2 = (2, o), f F, -f ( F =(o,i), 



l'on trouve, pour les coordonnées 



a % , b 3 



du point où le plan xj est rencontré par l'intersection commune du plan 

 passant par les trois premiers points et du plan passant par les trois der- 

 niers, les expressions suivantes, simples et symétriques : 



m (I, 3)g + (2, p)«i+ (O, l) «, 



■ — a »— (,,2)+(2, 0)-t-(0, l)~ ' 



>' — Oi — 



[,2)-+-(2, o)+ (O, l) 



3 



En les mettant à la place de x et j dans les premiers membres f(x, y), 

 F(x,y) des équations données (i ), les résultats sont fort souvent assez près 

 de zéro pour qu'on puisse regarder 



a 3 , b à 



comme les solutions cherchées. 



» Si l'on ne s'en contente pas, on regarde le système .r = <z 3 , y=b 

 comme une première approximation. Pour en obtenir une seconde, on fait 

 comme Cardan, qui toujours se servait d'un des deux résultats des substitu- 

 tions précédentes pour le combiner avec le résultat de la dernière substitu- 

 tion opérée, sans exiger absolument qu'ils eussent des signes opposés. Ici l'on 

 en prend deux; soient, par exemple, a, , b, et a 2 , b 2 les deux des trois pre- 

 miers systèmes donnant les résultats de substitution f, F qui étaient les 

 moindres, ou qui offrent avec les nouveaux résultats f 3 , F 3 des oppositions 

 de signe favorables à l'accélération de la marche, l'on calcule, en combi- 

 nant les six résultats, de nouveaux déterminants binômes ne différant 

 de (3) qu'en ce que tons les indices se trouvent augmentés d'une unité 

 (et dont le troisième est déjà tout calculé); on substitue dans (4), ce qui 

 donne un nouveau système 



«4, h, 



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