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 droite, mais un cercle tangent à la direction primitive. Dans la région bo- 

 réale, ce cercle est placé de telle sorte qtte le mobile dévie à droite de la 

 ligne d'impulsion, relativement à un observateur placé au point de départ. » 



VNALYSE mathématique. — Sur les Nombres de Bernoulli et sur quelques 

 formules qui en dépendent; par M. E. Catalan. 



(Commissaires, MM. Bertrand, Serret.) 



« L'une des savantes Notes ajoutées, par MM. Hermite et Serret, an 

 Traité élémentaire de Lacroix, a rappelé mon attention sur quelques résul- 

 tats assez simples, auxquels j étais parvenu depuis longtemps. Je demande 

 à l'Académie la permission de les lui soumettre. 



» 1. Expression générale des Nombres de Bernoulli. — M. Serret reproduit, a 

 peu de chose près, le calcul donné autrefois par Lacroix, d'après Laplace. 

 Ce calcul est assez compliqué, et la formule à laquelle il conduit n'est pas 

 la plus simple que l'on puisse employer quand on veut calculer directement 

 le p' e "" Nombre de Bernoulli. Dans une Note insérée an Journal de M. Tor- 

 tolini (*), j'ai démontré la formule : 



laquelle équivaut à 



i B » = 7 ~ l ( aP ~ ' P ) + 1 { y ~ 7 2 " + r " ) - • ' " 

 (A) < r f i n 



( *~r* [ ( p + 'T-^p^'^—ip-^-- ■ • ± ■')] r ■ 



» Dans la même Note, j'ai indiqué un procédé qui permet de calculer de 

 proche en proche, et très-simplement, les différences successives de i p . 



» IL Développement de - r — — — On peut, de bien des manières, prouver 



(*) Juillet-août 1859. 



(**) A l'exemple «le Lacroix (Calcul des différences, t. III, )>. 84), j'appelle \\ r te coef- 

 ficient île n dans le développement de 



,/H-l _,_ 2 p-H _J_ # ..._J_ ftf+l^ 



ordonné suivant les puissances de a. D'ailleurs 1^ = lorsque p est pair et plus grand </ne 

 tén. M Serret désigne par B„ re qui, avec notre notation, serait ( — ij"~ ' B.„_,. 



