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gz^~ g— 1»'~ 



Si, après avoir remplacé sin.r par ; ■> on applique le théorème 



2 y — I 



de Mac-La urin, on trouve aisément 



V ' P I .2.3. ..(/"+ 2/?) L\ 2/ J 



D'ailleurs, 



m[ I m\ m+, P~\ /m\'" +7 P m /m \ ■»+*/> w ( w — •) /'« \ -»+=/> 



» a" Si l'on suppose 

 (a) sin m+l x = sin'"^- . sina: = j? m+ ' -f- D 2 V n+3 + . . . + T> 2p x m+2p+ ' +.-.., 



on a 



(») D>„ = Co„ ~ C^„_o -+- . • . dz t. -, T C 2 3jT 5 r- ; ■• 



V ' - p - p 1.2.3 ip - 1.2. 3. ..(2/; i) " 1.2.3... [2/J-f-l) 



D'un autre côté, en égalant les dérivées des deux membres de l'équation (a), 

 et remplaçant cosx par son développement, on trouve une seconde valeur 

 do D 2p . Il en résulte 



i h \ „r l. m + l — P r '" + 2 — p r — p '" — n 



[H) p^ 2p + ia3 L, 2p _ 2 - x 2 3 4 5 ^-4.-1- ••; ■+■ ,. 2 .3... (2^4-0 ~ °' 



Cette relation générale donne, successivement, 



m „ m (5m — 2) „ m (35m- — 4 2 "' -H'6) 



(0 <V— —3F» C ^~"~Sfi^ ' c °- 



6 4 ~ 36o ' B ~~ 4536o 



> ■ 



» 3° En comparant la valeur de C 2 à celle qui résulte de la formule (G), 

 on conclut cette réduction assez remarquable : 



/ OT \m+S m (m \ m+1 m (m — 1) (m \ m+ - 



m I m V"+' / m\ m+7 m o / \ 



» f\° Du reste, on peut retrouver les valeurs (c) en partant de l'identité 

 sin" 1 x s= [.r — (.r — sinar)]" 1 , 

 et en y remplaçant x — sinx par son développement en série, 



