(a6) 

 Cette condition, si simple eu apparence, est au fond très-compliqui'e dans les 

 applications. Au surplus, si dans le premier Mémoire dont j';ii parlé on 

 ne cherche pas le reste, on arrive à la même conclusion. 



p Voici comment on pourrait, il me semble, présenter la théorie en 

 question. 



" Supposons la fonction zs{z) syuectique au point x, ainsi que la fonc- 

 tion F(z). On aura 



» 



| F(^)[.-^^'(3 )](^ 



le résidu devant être pris à l'intérieur d'un contour contenant le point x, la 

 seule racine Ç, et pas de points pour lesquels ct(z) et F(z) cessent d'être 

 synectiques; cette condition pourra toujours être remplie par un certain 

 contour convenablement choisi quand on fera t = o, et en vertu du théo- 

 rème de M. Puiseux, inséré dans le tome XV (i'* série] du Journal de Malhé- 

 maliques, Ç sera fonction monodrome, monogène, finie et continue à l'inté- 

 rieur de ce contour, pourvu qu'il ne contienne pas d'autre racine que Ç et 

 pas d'infini de 7s{z). Cette condition que doit remplir le contour peut être 

 exprimée analytiquement à l'aide du théorème de Cauchy sur la séparation 

 des racines ; en effet, le long de ce contour l'argument de z — a- — t-as{z) ne 

 devra varier que de 27: quand z fera un tour complet, ce qui conduit à la 

 condition 



(3) 



mod — ^— - < I, 



Quand t sera très-petit, cette condition pourra toujours être satisfaite pour 

 un contour suffisamment petit décrit autour du point jc, assez petit 

 j)our que cy(z) reste synectique dans son intérieur. 



» Ceci posé : 



u En différcntiant n fois l'équation (2), on trouve 



DrF(Ç) = CJF(z)D^; 

 pour ^ = o, cette équation donne 



ta 



■ JC t T3 



X — tvs) 



1.2. 



.71. 



(4) 



n 



Dr=„F(Ç) = .JF(z)[^^-^-^]|...: 



= D;[F(.r)cr«(x)] — Dr"[F(.r)î3'i;x)t3"-'(.r)].// 

 =:Dr-[F'(.r)t5"(x)]; 



