( ^7) 

 donc, en vertu du théorème de Cauchy sur la formule de Mac Laurin^ la 

 formule 



t" 



{^) F(Ç) = F(aO + ... -t--j-^— ^Dr'[F'(x)z."(x)]+... 



sera vraie pour des valeurs de t voisines de zéro, pourvu que la condi- 

 tion (3) puisse être satisfaite. Voilà la formule de Lagrange établie avec 

 sa condition d'existence sine fjitd non. Mais cette condition peut être trans- 

 formée. 



» Faisons d'abord F(Ç) =Ç : nous obtenons 



(6) ç = . r + /^(x) + ... + -^-^ Dr- [^"(•^)] -+-•••• 



» Nous allons prouver que cette série peut être employée toutes les fois 

 qu'elle est convergente. 



ïi En effet, en vertu de la formule (4)? elle peut s'écrire 



(7) Ç = Ç„ + ç;^ + ... + Çr7£^ + .... 

 » Ensuite la série 



zô{jc) + t[rs'{x)z:!{x)] -\- . . . -\ D"" [s'(.r) 5j"(.r)] -h- . . . 



peut s'écrire, toujours en vertu de la formule (4), 



mais elle peut aussi s'écrire 



(8) rz{œ)-h — D,.v!'{.T)+...-\- _ d^st"-*-' (x)] + . . . , H 



^ ' ^ 1.2 -^ ^ ' I .7. . . . (« H- I) L \ I -I ' ; 



c'est-à-dire qu'elle est convergente en même temps que (6); donc enfin 

 elle représente w(s)- Reste à prouver que 'Ç satisfait à l'équation (i); en 

 substituant à la place de z et z? (z), dans (i), les séries (6) et (8), la vérifi- 

 cation a lieu effectivement 



» Si actuellement on considère la formule (5), cette formule sera vraie 

 quand t variera à Tintérieur d'un cercle sur la circonférence duquel F(^) 

 ^esse d'être fonction synectique de t décrit de l'origine comme centre. 



» Or Ç, en vertu de la formule (6), reste fonction synectique de ^ à l'in- 



4-. 



