doubles d'une courbe du degré ?i k— points doubles, et par 2n — i 



points choisis arbitrairement sur la courbe, forment un faisceau du(rt — i)""" 

 ordre. Ce faisceau ne contient que quatre courbes qui ont un contact simple 

 avec la courbe donnée. Menons les tangentes, dans un des points fixes, à 

 ces quatre courbes; alors le rapport anharmonique de ces quatre tangentes 

 sera indépendant de la situation spéciale des an — a points choisis arbi- 

 trairement. 



» Lorsque n de ces points sont situés sur une droite, les autres 7i — 2 et 

 les points doubles ne déterminent plus qu'un faisceau de l'ordre n — a. 

 Relativement à ce faisceau, le théorème continue de subsister. 



» Encore le théorème a lieu, lorsque ces n — a points et un des points 

 doubles sont situés sur une droite. Alors les autres points doubles déter- 

 minent un faisceau de l'ordre n. 



)) Ces théorèmas sont dans une liaison intime avec les applications de la 

 théorie des fonctions abéliennes à la Géométrie, que j'ai publiées dans le 

 LXIIl" volume du journal de M. Borchardt. Pour les courbes dont il s'agit, 

 les fonctions abéliennes se réduisent à des fonctions elliptiques dont le mo- 

 dule est donné par la valeur constante du rapport anharmonique, pendant 

 que les points doubles déterminent les arguments de quelques intégrale;- 

 de troisième espèce, qui deviennent de la seconde espèce lorsque le point 

 double correspondant dégénère en un point de rebroussement. 



» En partant de ces principes on parvient à généraliser beaucoup les ré- 

 sultats que j'ai donnés dans le volume cité sur les courbes du troisième de- 

 gré, et sur l'interprétation géométrique de la multiplication des intégrales 

 elliptiques. Ailleurs j'en déduirai un grand nombre d'autres résultais nou- 

 veaux. 



» Les théorèmes énoncés ci-dessus m'ont conduit en même temps à i;i 

 solution générale d'un problème algébrique que M. Aronhold a résolu 

 pour les courbes du troisième ordre. Ce problème consiste en ce que les 

 variables d'une équation homogène /{x,,^^-,^^) = o, qui représente une 



courbe du degré n à — points doubles, seront représentées en fonc- 

 tions d'un paramètre Z à l'aide des équations 



lj..r, =(p, yZ, -+- (f', \/Z\, 

 p.Xj = Çj v'Z, + f\ v'Z'o» 

 fi.r^ = Ça v'Zj -(- 93 vZ'3. 



