Dans ces équations, les fondions Z, Z' sont respeclivement du degré k et A' 

 ( />: H- k' =^ 4)> et l*^s fonctions ç, ©' seront respeclivement dn degré — — 



et Ce problème a une infinité de solutions, dans lesquelles le pro- 

 duit ZZ' est toujours une fonction parfaitement définie du quatrième degré. 

 C'est cette fonction même qui se trouve sous le radical des intégrales ellip- 

 tiques, desquelles dépend la théorie de ces courbes. » 



GÉOMÉTRIE. — Théorèmes généraux sur les courbes planes alcjébriques. 

 Note de M. Lagi'erre, présentée par M. Chasles. 



n l. On appelle en généraiyo^er d'une courbe plane un point tel, que 

 deux des tangentes menées de ce point à la coiu'be rencontrent la droite de 

 l'infini aux deux points î et J communs à tous les cercles tracés dans le 

 plan (i). 



M Soit une courbe plane réelle de degré n et de classe p., et supposons 

 d'abord qu'elle ne |)asse |)as par les points I et J dont je viens de parler. 



» Par le point I on pourra mener [j. tangentes à la courbe; par le point J 

 passera également un fiiscean de [x tangentes. Les intersections de ces deux 

 faisceaux fourniront les [j? foyers de la courbe; ^a d'entre eux seront réels 

 et suffiront pour déterminer tous les autres. Nous nommerons ces points 

 foyers ordinaires^ ou simplement foyers lorsqu'il n'y aura lieu de craindre 

 aucune ambiguïté. 



» Si la courbe donnée passe par les points I et .T, soit / le nombre d^s 

 branches de la courbe qui passent par chacun de ces deux points. Les 

 faisceaux do tangentes menées à la courbe par les points 1 et J formeront 

 deux groupes bien distincts. Le premier groupe, composé des tangentes 

 qui touchent la courbe en un point autre que les ombilics, foiunira 

 {[J. — a/) foyers réels ordinaires, entièrement analogues à ceux dont nous 

 avons parlé ci-dessus. L'autre groupe, formé des tangentes ayant leur point 



(i) Il serait nécessaire, vu l'inipnrtanre de ces points et lenr fréquent usage en Géomé- 

 trie, de leur assigner un nom spécial. On pourrait les appeler nnibitins du plan ; ils jouent 

 en effet, par rapport aux courbes tracées dans le plan, le même rôle que les ombilics situés 

 à l'inlini sur un ellipsoïde par rapport aux courbes tracées sur celte surface. 



Toutes les sphères ont en commun une courbe plane du second ordre située ù liniini. 

 On pourrait l'appeler courbe ombilicale ou simplement ombilicale. Il est clair que les ombi- 

 lics d'un plan quelconque sont les points d'intersection de ce plan avec l'ombilicale. 



