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 de contact en un des points I et J sur la droite de l'infini, fournira /• foyers 

 réels que l'on doit considérer comme doubles et que nous appellerons 

 foyers singuliers. 



» Les foyers ordinaires et les foyers singuliers jouent le plus souvent un 

 rôle très-différent dans la Géométrie des courbes planes. Les courbes du 

 quatrième ordre, ayant pour points douljles à rinfiiu les points I et J et 

 étudiées par M. Moutard sous le nom d'anallag matiques du (juatiième ordre, 

 nous offrent un exemple simple de ces deux espèces de foyers et de leur 

 rôle divers. On sait que ces courbes peuvent être considérées de quatre 

 manières différentes comme l'enveloppe de cercles coupant ortliogonale- 

 nieiit u\y cercle directeur fixe et ayant leurs centres sin- une conique. Une 

 auallagmatique a deux foyers singuliers réels, qui sont les deux foyers réels 

 communs aux quatre coniques qui peuvent servir à la desci-iption de la 

 courbe, et seize foyers ordinaires, dont c[uatre réels, situés respectivement 

 quatre par quatre sur les quatre cercles directeurs correspondants aux 

 quatre coniques homofocales déjà mentionnées. 



» Dans tout ce qui suit nous supposerons essentiellen)ent que les courbes 

 considérées ne passent pas par les points 1 et J, et par conséquent qu'elles 

 n'ont pas de foyers singuliers. 



» De nos théorèmes généraux, il sera d'ailleurs facile dans chaque cas 

 de défluire les théorèmes particuliers cjui doivent leur être substitués lors- 

 que la courbe a des foyers singuliers. 



» Pour éviter des répétitions inutiles, dans tous les théorèmes énoncés ci- 

 dessous nous conviendrons de désigner constamment par n et par ^ le degré 

 et la classe des courbes considérées. 



M n. Soit y (x, j) = o l'équation d'une courbe plane algébrique, et 

 soit M un point de son plan dont les coordonnées soient S, et >j; la valeur 

 de la fonction f {x,j)., quand on y substitue les coordonnées Ç et y; du 

 point M, savoir f (£, vj), ne dépend que de la position du point M par rap- 

 port à la courbe. Elle est nulle pour tous les points de la courbe, qui dans 

 son plan sépare les régions où cette fonction a u!ie valeur positive des ré- 

 gions où elle a luie valeiu' négative. Dans les théorèmes qui suivent, nous 

 ne considérerons que sa valeur absolue. Kous l'appellerons la /Ji«s5«»ce du 

 point M relativement à la courbe, en nous servant d'une dénomination 

 déjà employée par Steiner pour le cercle. 



» La puissance d'un point n'est jusqu'à présent définie qu'à une con- 

 stante arbitraire près; nous achèverons de la déterminer au moyen du [ire- 

 mier des théorèmes suivants. 



