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» ThéOUÈME I. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe plane, 

 on mène un cercle quelconque, le produit des distances de ce point aux i n points 

 d' intersection de ce cercle et de la courbe est égal à la puissance du point M j}ar 

 rapj)ort à la courbe, înultipliée par la n''"" puissaïue du rayon. 



» On peut supposer, dans ce théorème, que le cercle se réduise à une 

 droite quelconcpie passant par le point M et à la droite de l'infini; on 

 obtient ainsi un théorème connu dont on déduit facilement les théorèmes 

 de Newton et deCarnot. Nous n'insisterons pas sur ces faciles déductions, 

 non plus que sur le cas où le point jM se trouve sur la courbe elle-même. 



» Théorème II. — Si un cercle est tracé dans le plan d'une courbe plane, la 

 demi-somme des angles que font avec une direction fixe arbitraire les i ?i rayons 

 du cercle aboutissant aux points d'intersection, est égale, à un multiple près de t^, 

 à la somme des angles que font les 7i asymptotes avec cette mcmc directioit. 



» Relativement aux coniques, le théorème précédent se réduit à cette pro- 

 priété bien connue : quand un cercle coupe une conique, les bissectrices des 

 angles formés par les cordes communes sont parallèles aux axes. 



» Théorème III. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène 

 les a ->rn droites qui la coupent sous un anr/le donné V, le jiroduil de toutes les 

 longueurs comprises entre le point M et les pieds de ces droites est égal au pro- 

 duit des distances du point M aux p. foyers réels de la courbe, multiplié par la 

 puissance du point M, le tout divisé par (^2 ah^Y)". 



I) Le produit considéré devient évidemment minimum, cpiand les droites 

 sont normales à la courbe; en d'autres termes, quand sin V ^ i. 



)■ On a dans ce cas le théorème suivant : 



«Théorème IV. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène 

 les (p. + n) normales à la courbe, le produit des longueurs comprises entre le 

 po'inl M et les pieds des normales est égal au produit des distances du point M aux 

 u. foyers réels, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par 2". 



» Lorsque dans le théorèuic III on suppose V = o, on obtient pour le 

 produit des (p. + n) longueurs une ^aleur infinie; ce qui tloit être, car le 

 groupe des droites passant par le point M et rencontrant la courbe sous un 

 angle nul comprend, outre les p. tangentes passant par ce point, les n paral- 

 lèles aux asymptotes. Le produit des tangentes est donné j)ar le théori'iiie 

 suivant : 



» Théorème V. — Si j)(U' un jmint M, jiris dans le plan d'une courbe, on mène 

 les tangentes à cette courbe, le jtrndnit des lon(iucurs comprises sur les tatigetites 

 entre le point M et les points de contact est égal au produit des distances du 

 jioint M aux [J. foyers réels, multiplié par la j)uissance du point M, le tout divisé 



