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 par 2" el par le produit des distances de ce point aux asymptotes de la courbe. 

 « Des ihéorènips IV et V on déduit la proposition suivante : 

 » Théorème VI. — Si])ar un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène 

 les tangentes et les normales à celte courbe, le produit des longueurs comprises 

 sur les tangentes entre le point M et les points de contact, multiplié par le produit 

 des distances de ce point aux asjniptotes, est égal au produit des longueurs com- 

 prises entre le point M et les pieds des normales. 



» TllÉonÈMl!; VII. — Par un point M, pris dans le plan d'une couibe plane, 

 menons les [x H- n droites qui la coupent sous un angle donné \. Soient l,, Xj,.--» 

 \ ^ lesangles cpie font ces droites avec un axe fixe arbitraire; soient J,,J^,..., 

 f les angles cpie font avec le même axe les droites joignant le point M aux p. 

 foyers réels, et^„^.,..., Ç,, /es angles de cet axe avec les asymptotes de la courbe. 

 Tous ces angles sont reliés entre eux par la relation suivante, (pii doit être 

 vérifiée à un multiple près de n. 



2>-2:?=2:/- 



jiY. 



» Remarque. — Le second membre de l'équation précédente ne dépen- 

 dant qne de l'angle V et de la position relative du point M et des foyers de 

 la courbe, la propriété exprimée par cette équation constitue une proi)riété 

 générale des courbes de même classe ayant les mêmes foyers. 



» Si, dans le théorème précédent, on suppose V — o, les angles des 

 asymptotes avec l'axe fixe disparaissent d'eux-mêmes de la relation donnée 

 ci-dossus, et l'on obtient le théoi'ème suivant : 



» TllÉOUÈME VIII. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on 

 mène tes tangentes à cette courbe, la somme des angles que font ces tangentes avec 

 une direction fixe arbitraire est égale à la somme des angles que font avec cette 

 même direction les droites joignant le point M auxfojers réels de la courbe. 



» Remarque. -^ Relativement aux coniques,- cette proposition donne ce 

 théorème bien connu de M. Poncelet : Les tangentes menées d'un point à 

 une conique sont également inclinées sur les droites joignant ce point aux 

 foyers. 



» La considération des courbes tracées sur la sphère conduit à des théo- 

 rèmes généraux analogues aux théorèmes énoncés dans cette Note relative- 

 ment aux courbes planes. Nous nous contenterons ici de cette mention, sans 

 entrer dans^ de plus longs détails à ce sujet. 



1) Lorsqu'une courbe est tangente à la droite de l'infini, elle admet pour 



C. n., iS65, 1" Semestre. (T. LX, N» 2.) ^O 



