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GÉOMÉTRIE. — Sur tes surfaces à courbure constante négative, et sur celles 

 applicables sur les surfaces à aire minima. Note de M. Ulysse Dixi. 



(CoiDinissaiies, MM. Bertrand, Serret, Bonnet.) 



« Dans la Note (jiie j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Acadé- 

 mie, je réunis les résultats les plus remarquables de quelques-unes de mes 

 études sur les surfaces à courbure constante, et sur celles applicables sur 

 les surfaces à aire minima. Ces résultats sont les suivants ; 



» 1° Parmi les hélicoïdes à courbure constante négative ;> il y en a 



dont le profil générateur est une courbe aux tangentes de longueur con- 

 stante y n} — ^, h étant le pas coinmun des hélices décrites par les dif- 

 férents poinis du profd. Les hélicoïdes correspondant à toutes les valeurs 

 (le h comprises entre o et 27:^7, qui sont par conséquent en nombre infini, 



ont tous la même courbure ;» et sont tous applicables sur celui qui 



correspond à h = o, et qui n'est que la surface de révolution trouvée par 

 M. Liouville. 



« On parvient à ce théorème en cherchant à réduire l'élément linéaire 

 des siu'faces hélicoïdales à la forme de l'élément linéaire des surfaces à coin- 

 bure constante négative. 



« 2° La classe des surfaces applicables sur celles à aire minima est con- 

 stituée par les surfaces développées de celles à courbure constante négative 

 et par les surfaces gauches dont l'élément linéaire peut se réduire à la forme 



cls^ = dit" ^ [a- ^ a-) dv- . 



M Ce théorème se déduit de celui de M. Weingarten sur les surfaces 

 applicables. (Voyez Journal de Crelle, t. LIX.) 



» 3° Parmi les surfaces gauches applicables sur les surfaces à aire mi- 

 nima, il y a les hélicoïdes engendrés par une droite qui se meut en s'ap- 

 puyant sur une hélice et en faisant un angle droit avec elle et un angle 

 quelconque constant avec les arêtes du cylindre sur lequel celte hélice est 

 tracée. 



» On démontre ce théorème en cherchant la forme de l'élément linéaire 

 de ces hélicoïdes. 



» 4" T'^^s hélicoïdes du ihéorème précédent peuvent être considérés 



