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J'ai été ainsi conduit ;i une généralisation sous un nouveau point de vue de 

 ces fonctions X„, je veux dire à un système de polynômes iliin nombre quel- 

 conque de variables ayant une même origine que ceux île Legendre; ce qui 

 n'avait pas lieu pour les quantités U„_ ,/_„",., et à l'égard desquels on retrou- 

 vera la plupart des propositions de l'illustre géomètre, et ir.ème l'analogue 

 du beau théorème de Jacobi, savoir : 



•}.. . .n . ?." 



Ce système de polynômes, et un autre qui s'y joint immédiatement, con- 

 duisent à des développements de fondions de plusieurs variai)!es,,r.^, r,..,. 

 dans l'étendue limitée par la condition 



ou pins généralement 



.T--hJ- -h Z= -+-...< I, 



Ç(^,J, Z,...)= I: 



le premier membre de l'inégalité étant une forme quadratique définie et 

 positive. La méthode si féconde et si connue depuis Fourier, consistant à 

 déterminer les coefficients par l'inlégralion après avoir multiplie la fonc- 

 tion par un facteur convenable, s'applique encore dans ces nouvelles 

 circonstances, mais avec une modification qui semble caractéristique 

 pour les fonctions de plusieurs variables. L'intérêt de ces nouveaux déve- 

 loppements, d'ailleurs, consiste surtout en ce que les variables y sont trai- 

 tées simultanément, de sorte qu'ils ne résultent pas, comme le plus souvent, 

 de l'application répétée du même procédé sur chacune des quantités Jc, 

 )\ 2..., successivement considérée comme variable unique. Enfin on peut 

 présumer que ces polynômes donneront la solution de questions de minimum 

 ou d'interpolation du genre de celles qu'a traitées M. Tchébichew, et celte 

 étude a été amenée, je dois le dire, par diverses questions que m'a posées 

 plusieurs fois sur ce sujet notre savant confrère. 



L 



» L'expression 



r — 2 ajc -H a^ , 



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