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 qui (loiiiie naissance aux fonctions de Legendre et aux formules trigono- 

 métriques pour la multiplication des arcs, d'après ces relations, 



1 \ I ^^ _ sinf f/7-l- I) arccosjrl 

 I — iax + (7-)-' — ^ ^n- -L _J 



y/ 1 — x' 



se prête au mode de généralisation découvert par Gupel et M. Rosenhaim 

 pour passer des séries elliptiques de Jacohi aux fonctions abcliennes d'un 

 nombre quelconque de variables. En comparant en effet ces deux expres- 

 sions : 



V^ 'V^ /7r(2mx-t- ■2nr-t-gm'-^- ihmn-i~ g' n') , 



on est amené nalurellement à l'étendre de cette manière : 



I — 2ax — ihj -\- gn- -i- 2^/ab -f- g' h-, 



ou bien, avec « vaiiables, Jc,r, r...., u : 



I — 2ax —2b} — ... — 2ku + 9 {a, h, c,. ..,A-). 



(p [a, h, c,..., k) étant un polynôme homogène et du second degré en 

 n, b,..., A. Mettanl , avec une indéterminée de plus, sous forme ho- 

 mogène, 



/- + 2alx + 2 W/ -h ... -h 2klu 4- (p(rt, b,..., k), 



nous considérerons également sa forme adjoinle ou conirevariant quadra- 

 tique qu'on obtient aisément comme il suit. Soit cj; [a, b,..., k) la forme 

 adjointe de 4^, A son invariant, en faisant, pour abréger, 



oti trouvera pour résultat : 



\/A — yja, b,,.., /-jj^ — 4<(rt, b,.., k)[<\> [a-,r,---, n) — A]. 



Tels sont les éléments algébriques qui serviront de point de départ à nos 

 recherches; nous nous bornerons toutefois à deux variables et au cas le 



