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» Les faces et sommets du polyèdre seront réunis sons le nom générique 

 d'éléments, par opposition à ses arêtes. 



» Deux polyèdres sont pareils, si, en choisissant convenablement dans 

 chacun d'eux un premier sommet et une première arête, on peut faire en 

 sorte qu'ils présentent un aspect semblable. Si plusieurs aspects d'un même 

 polyèdre sont semblables entre eux, les éléments ou les arêtes qui portent les 

 mêmes ninnéros sous ces divers aspects seront dits pareils. Des lignes ou ré- 

 gions quelconques seront pareilles, si elles sont formées d'éléments et d'arêtes 

 respectivement pareils. 



» Un élément ou arête sera dit n fois répété ou d'espèce n, si le nombre 

 des éléments ou arêtes pareils est égal à n. 



» Si les deux aspects directs relatifs à une même arête «^ sont semblables, 

 le polyèdre sera dit symétrique par retournement autour de nb. Si un élément 

 porte le même numéro sous k aspects différents, on dira qu'il y a symétrie 

 de rotation d^ordre k autour de cet élément. 



» Lkmme. — Soit k l'ordre de la symétrie de rotation qui existe autour 

 d'un élément quelconque, n le nombre des éléments pareils : les 2 A aspects 

 du polyèdre se partageront en groupes, formés chacun de kn aspects sem- 

 blables entre eux. 



» Théorème 1". — Étant donné un polyèdre tel, que ses diverses parties 

 se présentent dans le même ordre lorsqu'on le considère successivement 

 sous plusieurs aspects directs différents, ou pourra toujours trouver une in- 

 finité de polyèdres, à faces planes ou gauches, pareils à celui-là, et exacte- 

 ment superposables à eux-mêmes sous ces mêmes aspects. 



» Théorème II. — Les divers cas qui pourront se présenter sont les sui- 

 vants : 



» 1° Symétrie par rotation. — Solides présentant à chacune de leurs 

 extrémités un élément unique de son espèce, tous les autres éléments, et 

 toutes les arêtes, étant répétés un nombre de fois déterminé k; k lignes géo- 

 désiques pai'eilles tracées entre les éléments extrêmes ne se rencontreront 

 en aucun point intermédiaire, et découperont la surlace du polyèdre en k 

 régions pareilles. 



M Dans le cas particulier où k = 2, l'un des éléments extrêmes, ou tous 

 les deux à la fois, peuvent être remplacés chacun par une arête, unique de 

 son espèce, et douée de la symétrie de retournement, ce qui donne deux 

 genres particuliers de symétrie, que nous appellerons : 



■> 1° Symétrie par rotation et retournement et 3" symétrie par retourne- 

 ment. 



C. R., iS65, l" Semestre. (T. LX, N» 8.) Sa 



