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» 4" Symétrie par rotation et renversement. — Ces solides piéseiitetit : 

 1° deux éléments pareils E, E', seuls de leur espèce, et doués d'une symétrie 

 de rotation d'ordre k; 2" deux autres systèmes d'éléments ou d'arêtes remar- 

 quables, composés chacun soit de k éléments doués de symétrie de rotation 

 binaire, soit de À" arêtes douées de la symétrie de retournement. Tous les 

 autres éléments ou arêtes sont 2 A" fois lépétés 



n 5° Dans le cas particulier où A- = 2, les éléments extrêmes E, E' peu- 

 vent être remplacés par deux arêtes pareilles. Si en outre chacun des deux 

 autres systèmes remarquables est formé par des arêtes douées de symétrie 

 par retournement, nous avons un genre spécial de symétrie auquel nous 

 pourrons donner le nom de symétrie par retournement et renversement. Les 

 solides doués de cette symétrie sont pareils à eux-mêmes sous quatre aspects 

 différents : ds présentent trois systèmes de deux arêtes pareilles entre elles, 

 toutes les autres arêtes et tous les éléments étant quatre fois répétés. 



» En dehors des types précédents, il en existe trois autres, dérivés fies po- 

 lyèdres réguliers par le procédé suivant : 



» Prenons un polyèdre pareil à l'un des polyèdres réguliers; remplaçons 

 ses arêtes par des lignes polygonales quelconques, ou plus généralement 

 par des fuseaux à facettes polyédriques, pareils entre eux et présentant une 

 symétrie de rotation binaire autour d'un de leurs éléments, ou une symétrie 

 de retournement autour d'une de leurs arêtes : remplaçons de même ses 

 faces par des calottes polyédriques pareilles entre elles et présentant autour 

 d'un de leurs éléments une symétrie par rotation dont l'ordre soit égal au 

 nombre des côtés de la face (ces calottes peuvent se réduire à de simples 

 points); nous aurons reconstitué ainsi, ou les polyèdres cherchés, ou leurs 

 polaires. 



» On obtient ainsi trois types différents : 



» 6° Symétrie létraédritpie . — Ces solides, ou leurs polaires, peuvent être 

 considérés comme dérivés de deux tétraèdres différents. Ils présentent douze 

 aspects semblables : deux systèmes d'éléments d'espèce quadruple, et un sys- 

 tème d'éléments ou d'arêtes d'espèce sextuple. Tous les autres éléments ou 

 arêtes sont douze fois répétés. 



» 7° Symétrie cuboctaédricpie . — Ces solides, ou leurs polaires, peuvent 

 être considérés à volonté comme dérivés, soit d'un polyèdre pareil au cube, 

 soit d\\\\ polyèdre pareil à l'octaèdre régulier. Ils présentent vingt-quatre 

 aspects semblables : un système d'éléments d'espèce sextuple, un autre d'es- 

 pèce octuple, et un système d'éléments ou d'arêtes d'espèce dodécuple; 

 tous les autres éléments ou arêtes sont vingt-quatre fois répétés. 



