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 moindre que riiiiitt-, et qui sont d'autant plus jietites que les indices m et n 

 sont plus grands. Comme on trouve aisément d'ailleurs 



/ / djcdj[\ — 



X- 



m -(-«-)- I 



on aura, si l'on appelle ç/,„ „ le maximum de l'expression — ^ ,' — sous In 

 condition x'- -I- >"' = ^i cette limite supérieure fort simple de A,„„, savoir : 



"m.fi ^C 



. 2 . . . /« -\- n .7."' 



» En supposant donc que -^^ ne dépasse jamais une certaine 



constante k, les termes du développement considéré 2a„,„V,„„ ne dépas- 

 seront pas non plus ceux de la série suivante : 



kS -^ V 



représentant la fonction 



k{\ — lax — ibj -(- a" -t- h'^)~\ 

 dans l'hypothèse 



rt = - et h — - 



■?. ■> 



Mais d'autres propriétés du polynôme U,„,, vont encore nous montrer, et 

 indépendamment de la transformation précédente, que la valeur de A,„ „ di- 

 miinie quand les indices augmentent. 



VI. 



» On sait que la fonction X„ de Legendre reste, quel que soit //, luunén- 

 quement moindre que l'unité lorsqu'on fait varier j:' de — i à + i, et que 

 l'équation X„=: oadmet entre ces mêmes limites « racines réelles et inégales. 

 P;u' conséquent, dans l'intégrale 



x: 



F {x)X„djc, 



F(.r) se trouve multiplié par un facteur qui change « + i de signe entre les 

 limites, et sans dépasser l'unité. Or, aux infiniment petits près du second 



