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 ordre, une fonction prend des valeurs égales et de signes contraires avant 

 et après son passage par zéro, la fonction F [x) variant alors infiniment peu, 

 on voit que le facteur X„ a pour effet d'amener dans le voisinage de ses ra- 

 cines des éléments de l'intégrale infiniment peu différents et de signes con- 

 traires, d'où résulte que l'intégrale diminue de valeur quand le nombre de 

 ces racines augmente. Des considérations semblables s'appliquent à l'inté- 

 grale double 



ff' 



dont les limites sont déterminées par la condition 



et reposent sur les propriétés suivantes du polynôme Um,„. 



» Supposons que les variables x et ^ représentent des coordonnées rec- 

 tangulaires, la courbe donnée par l'équation U„_„ = o, abstraction faite du 

 facteur .r ou ^, suivant les cas, sera toute comprise dans l'intérieur du 

 cercle x^ + ^- = i; déplus, elle sera rencontrée en m points par une paral- 

 lèle à l'axe des abscisses, et en n points par une parallèle à l'axe des ordon- 

 nées. Ce sont les changements de signe du facteur Um,n, résultant de ces in- 

 tersections, qui amèneront dans les intégrations relatives à x ou à j- les 

 mêmes conséquences et la même conclusion que précédemment (*). 



M Le premier point résulte d'une forme de développement de l'expression 



T 



[i— 2nx— -ibj + rt* (i — J-) + aabxr -h b^ {\ — x^)] ", 

 qui s'obtient de la manière suivante. Soit pour un instant 



I — ax — by ' 

 elle pourra s'écrire ainsi : 



u [i - (a- -h b^ ) [x^ 4- 7=" - i) «=]' ■', 



■ ■^■-..11 , — ■ ■ , ^ ^^_ .-^ 



(*) Je dois faire remarquer toutefois une différence en ce qui concerne te maximum 

 lie Um,„, égal à jl'unité lorsque l'un des indices est supposé nul, et dont l'expression géné- 

 rale est 



l .2. , .m -\- n 



n I \m ■+- n I 



I .2. . .m. 1.2. . ./j \/« ■ 



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