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X. 



» Les dérivées des divers ordres de l'exponentielle e""''^^'^''' ^ dans la- 

 quelle 9(^, r, z,...) désigne une forme quadratique, conduisent, comme 

 on l'a vu, à un mode de développement d'une fonction quelconque, où les 

 variables [)euvent recevoir toutes les valeurs de — oo à + oo . (Jr, un pa- 

 reil mode de développement peut être aussi obtenu comme conséquence 

 de ces formules 



" V^ 1 J ; ^ ^^ ^m, n ^ m,ri — ^^ '^m,n ^ in,/ii 



et de celles où l'on emploie v\,,„ et O,,, „, et en supposant x ei j limités 

 par la condition 



jc- -hj" s: t. 



» Considérons en effet la substitution 



jc = > r = 



on en cléduit 



d'où résulte que les nouvelles variables pourront s'étendre de — oo à -H oo , 

 et on est amené par là à rechercher ce que deviennent en fonction de S, et y; 

 les polynômes Um,n et V,„,„. Si l'on fait 



m H- n 



on voit tout d'abord que les quantités Rm.„, S,„,„ sont rationnelles, entières 

 et du degré m ■+- n en ^ et yj ; ainsi on aura 



Ro.o=i, R3.o = -;(2|»-3?), 



R..0-?, R,.. =^(3rYî--/î), 



■} 



K, = -n, R.,, = ^(3-^=?-§), 



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