( -^17 ) 

 elle deviendra 



(. + r + ■/?')[• + (I - «)' -t- {-n - i5)1-' = 2«'"/5"^'«."^' + ?' + ■/, V".-"'. 



et on en conclut cette expression, qui nous rapproche de la forme analy- 

 tique de Um_„, savoir : 



( 1 + ?= -t- r, ')»■+"+' f/'"+"( I -1-4'+ -ri' Y ' 



» En posant 



. 2 ... « ir/|'" f/>-," 



■m, Il — Om,n\* ~^ Ç 



on obtiendra semblablement 



Hi H- n -i- - 



m+n ( 



(- 0" 



. 2 ... 772 . I . a ... n rfç'" drt" 



» A l'aide de cette forme, en raisonnant comme je l'ai fait précédem- 

 ment, on établit que les équations 



admettent toujours m racines réelles considérées par rapport à ^ et /^ ra- 

 cines réelles par rapport à yj. Sous la condition Ç > cot -, l'équation 



S,„_,( = o a même toutes ses racines réelles par rapport à yj. Mais je ne m'ar- 

 rêterai pas à l'étude des polynômes R,„,„, S„_„, ayant voulu seulemeni 

 indiquer encore un exemple du genre d'expression donné par Jacobi aux 

 fonctions de Legendre. C'est en 1826, dans le second volume du Journal 

 de Crelle, que ce grand géomètre a établi la relation 



I d"(.T'— i)" 



x„ = 



1 .2. . .n.j." d.r" 



Mais bien avant, et dès 181 5, un homme du mérite le plus distingué el 

 dont la mémoire est restée chère à ses nombreux amis, M. Olinde Rodri- 

 gues, y était parvenu dans une Thèse sur l'attraction des sphéroïdes, pré- 

 .sentée à la Faculté des Sciences de Paris. Cette Thèse contient encore la 

 relation remarquable 



i d'"-l'[x- — i)"' [j:'-—\)p d"'+P{x-—i]'" 



1 .7 ... ni — j) dx'"~P 1.2 . .m -\- p dx'" 



donnée également par Jacobi dans le même Mémoire, et qui joue un rôle 



